Question

Докажите что число 3+3^2+...+3^120 делится на 5

Answer 1

$\sum\limits_{i = 1}^{120} 3^i = 3 + 3^2 + ... + 3^{120} =\\\\ =3 + 3^3 + 3^2 + 3^4 +... + 3^{117} + 3^{119} + 3^{118} + 3^{120} =\\\\ =\sum\limits_{i = 1}^{30} (3^{4i-1} + 3^{4i-3} + 3^{4i-2} + 3^{4i})= \\\\ = \sum\limits_{i = 1}^{30} (3^{4i-1}*(1 + 3^2) + 3^{4i-2}*(1 + 3^2)) =$

$= \sum\limits_{i = 1}^{30} ((3^{4i-1} + 3^{4i-2})*(1 + 3^2)) =\\\\=(1 + 3^2)*\sum\limits_{i = 1}^{30} (3^{4i-1} + 3^{4i-2}) = 10*\sum\limits_{i = 1}^{30} (3^{4i-1} + 3^{4i-2}) =\\\\ = 5*(2*\sum\limits_{i = 1}^{30}(3^{4i-1} + 3^{4i-2}))$

Answer 2

Для того чтобы доказать, что число 3 + 3^2 + ... + 3^120 делится на 5, мы можем воспользоваться математической индукцией.

1. Базовый шаг: При n = 1, получаем 3, что является кратным 5.

2. Предположение индукции: Предположим, что для некоторого k, сумма первых k членов ряда 3 + 3^2 + ... + 3^k делится на 5.

3. Индукционный шаг: Докажем, что для k+1, сумма первых (k+1) членов также делится на 5.

Рассмотрим сумму первых (k+1) членов: 3 + 3^2 + ... + 3^k + 3^(k+1)

Мы можем вынести 3 из скобок: 3(1 + 3 + ... + 3^k) + 3^(k+1)

Заметим, что выражение в скобках является суммой первых k членов ряда, которая, согласно предположению индукции, делится на 5. То есть, она равна 5m, где m - целое число.

Таким образом, сумма первых (k+1) членов ряда равна 3(5m) + 3^(k+1) = 5(3m + 3^(k+1)).

Так как 3m + 3^(k+1) - это целое число, то мы можем заключить, что сумма первых (k+1) членов ряда также делится на 5.

Исходя из принципа математической индукции, мы можем сделать вывод, что сумма первых 120 членов ряда 3 + 3^2 + ... + 3^120 делится на 5.