Question

(1/2)^(x²+x-2)≥4^(x-1)

Answer 1

(2^(-1))^(x²+x-2) ≥ (2²)^(x-1)
2^(-x²-x+2) ≥ 2^(2x-2)
-x²-x+2 ≥ 2x-2
-x²-3x+4 ≥ 0
x²+3x-4 ≤ 0
x²+3x-4 = x²+4x-x-4 = x(x-1)+4(x-1) = (x-1)(x+4)
x₁ = 1
x₂ = -4
      +           -             +
-----------.----------.------------>x
            -4           1
x∈[-4; 1]

Answer 2

(2^(-1))^(x²+x-2) ≥ (2²)^(x-1)
2^(-x²-x+2) ≥ 2^(2x-2)
-x²-x+2 ≥ 2x-2
-x²-3x+4 ≥ 0
x²+3x-4 ≤ 0
x²+3x-4 = x²+4x-x-4 = x(x-1)+4(x-1) = (x-1)(x+4)
x₁ = 1
x₂ = -4
      +           -             +
-----------.----------.------------>x
            -4           1
x∈[-4; 1]

Answer 3

Чтобы решить данное неравенство, давайте разберемся с каждой его частью.

Имеем неравенство:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 + x - 2} \geq 4^{x - 1} \]

Первым шагом давайте преобразуем обе стороны неравенства так, чтобы базы степеней были одинаковыми. Мы знаем, что \(4 = 2^2\), поэтому можно записать \(4^{x-1}\) как \((2^2)^{x-1}\), что равно \(2^{2(x-1)}\).

Таким образом, мы можем записать неравенство в следующем виде:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 + x - 2} \geq 2^{2(x-1)} \]

Теперь используем свойство степеней, умножив показатели степени в обеих частях неравенства:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 + x - 2} \geq 2^{2x - 2} \]

Далее давайте представим числитель и знаменатель слева в виде степеней 2:

\[ 2^{-x^2 - x + 2} \geq 2^{2x - 2} \]

Теперь сравним показатели степеней:

\[ -x^2 - x + 2 \geq 2x - 2 \]

Приравняем к нулю и решим полученное квадратное уравнение:

\[ -x^2 - x + 2 - 2x + 2 = 0 \]

\[ -x^2 - 3x + 4 = 0 \]

Это квадратное уравнение не имеет решений среди действительных чисел (дискриминант \(D = (-3)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 4 = 9 - (-16) = 25\), и \(D < 0\)).

Таким образом, неравенство не имеет решений в действительных числах. Вернемся к исходному выражению:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 + x - 2} \geq 4^{x-1} \]

Так как у нас нет решений, то исходное неравенство не имеет решений в действительных числах.