Question

Докажите с помощь мат. индукцией 2^n>5n+1, n>=5

Answer 1

Примем за базу индукции n=5. Проверим истинность выражения при n=5:
$2^5\ \textgreater \ 5*5+1 \\ 32\ \textgreater \ 26$ . 
Получили верное неравенство => базис доказан. 

Теперь предположим, что неравенство справедливо при некотором n=k>=5, т.е. выполняется: 
$2^k\ \textgreater \ 5k+1$ .
Доказав истинность выражения при n=k+1, в соответствии с принципом математической индукции, мы докажем и истинность выражения при n>=5.
$> Используем наше предположение: <img src=$ => $2^k*2\ \textgreater \ 2*(5k+1)$ => $2*(5k+1)\ \textgreater \ 5k+6$
$10k+2\ \textgreater \ 5k+6$ . 

Проверим истинность последнего неравенства:
$10k+2\ \textgreater \ 5k+6\\5k\ \textgreater \ 4$
$k\ \textgreater \ 0.8$ . 

Т.е. последнее неравенство верно для всех k>0.8, но, по нашему предположению, k>=5, а значит, выражение истинно при всех n=k+1, что и требовалось доказать.  

Answer 2

Для того чтобы доказать неравенство \(2^n > 5n + 1\) для \(n \geq 5\) с использованием математической индукции, давайте разберемся с базой индукции и индуктивным шагом.

База индукции: Для \(n = 5\), проверим, выполняется ли неравенство: \[2^5 > 5 \cdot 5 + 1.\]

\[32 > 26.\]

База индукции верна.

Индуктивный шаг: Предположим, что для некоторого целого числа \(k \geq 5\) выполняется неравенство: \[2^k > 5k + 1.\]

Теперь докажем, что из этого следует, что неравенство также выполняется для \(k + 1\): \[2^{k+1} > 5(k+1) + 1.\]

Рассмотрим левую и правую части неравенства для \(k + 1\):

Левая часть: \[2^{k+1} = 2 \cdot 2^k.\]

Правая часть: \[5(k+1) + 1 = 5k + 5 + 1 = 5k + 6.\]

Теперь подставим предположение индукции (\(2^k > 5k + 1\)) в левую часть:

\[2 \cdot 2^k > 2 \cdot (5k + 1).\]

\[2^{k+1} > 10k + 2.\]

Теперь сравним полученное неравенство с правой частью:

\[10k + 2 > 5k + 6.\]

Вычитаем \(5k\) из обеих сторон:

\[5k + 2 > 6.\]

Так как \(k \geq 5\), то это неравенство выполняется. Таким образом, мы доказали, что если неравенство выполняется для \(k\), то оно также выполняется и для \(k + 1\).

Итак, по принципу математической индукции, мы заключаем, что неравенство \(2^n > 5n + 1\) верно для всех целых \(n \geq 5\).