Question

Log x+1(x/3 - 1) * Logx+1(x+2)<0

Answer 1

Log(x+1) (x/3-1)*log(x+1) (x+2)<0
ОДЗ: x/3-1>0   x>3    x+2>0    x>-2     ⇒   x∈(3;+∞)
log(x+1) (x/3-1)>0   x/3-1>(x+1)⁰    (x-3)/3>1   x-3>3    x>6
log(x+1) (x+2)<0     x+2<(x+1)⁰      x+2<1        x<-1   ⇒
система не имеет общего решения.
log(x+1) (x/3-1)<0   (x/3-1)<(x+1)⁰   x<6
log(x+1) (x+2)>0     x+2>x+1            x>-1   ⇒  x∈(-1;6)
Согласно ОДЗ:  x∈(3;6).

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы можем использовать свойства логарифмов и методы анализа функций. Прежде чем начать, давайте уточним область допустимых значений переменной x. Обратите внимание, что логарифмы определены только для положительных аргументов, поэтому x должно быть больше 0.

Область допустимых значений x

Для неравенства Log(x + 1)(x/3 + 1) * Log(x + 1)(x + 2) < 0, x должно быть больше 0.

Разбиение интервалов

Для решения данного неравенства, мы можем разбить интервалы x на подынтервалы, где левая и правая части неравенства меняют свои знаки. Затем мы можем анализировать каждый подынтервал отдельно.

Подынтервал 1: x < -2

Если x < -2, то (x + 1) < 0 и (x + 2) < 0. Обратите внимание, что левая и правая части неравенства содержат произведение двух логарифмов. Поэтому, чтобы левая часть неравенства была отрицательной, оба логарифма должны иметь разные знаки.

Таким образом, для данного подынтервала, левая часть неравенства отрицательна, когда (x/3 + 1) > 0 и (x + 1) < 0 или (x/3 + 1) < 0 и (x + 1) > 0. Однако, такого значения x, для которого выполняются оба условия, нет. Следовательно, на этом подынтервале неравенство не имеет решений.

Подынтервал 2: -2 < x < -1

Если -2 < x < -1, то (x + 1) > 0 и (x + 2) < 0. В этом случае, левая и правая части неравенства имеют разные знаки.

Для данного подынтервала, левая часть неравенства отрицательна, когда (x/3 + 1) > 0 и (x + 1) > 0 или (x/3 + 1) < 0 и (x + 1) < 0. Решая эти неравенства, мы получаем:

- Если (x/3 + 1) > 0 и (x + 1) > 0, то x > -3 и x > -1/3. Из условия -2 < x < -1 следует, что x > -2. Таким образом, для данного подынтервала неравенство не имеет решений. - Если (x/3 + 1) < 0 и (x + 1) < 0, то x < -3 и x < -1/3. Из условия -2 < x < -1 следует, что x < -1. Таким образом, для данного подынтервала неравенство имеет решения.

Подынтервал 3: -1 < x < -0.5

Если -1 < x < -0.5, то (x + 1) > 0 и (x + 2) > 0. В этом случае, левая и правая части неравенства имеют одинаковые знаки.

Для данного подынтервала, левая часть неравенства отрицательна, когда (x/3 + 1) < 0 и (x + 1) < 0 или (x/3 + 1) > 0 и (x + 1) > 0. Решая эти неравенства, мы получаем:

- Если (x/3 + 1) < 0 и (x + 1) < 0, то x < -3 и x < -1/3. Из условия -1 < x < -0.5 следует, что x > -1. Таким образом, для данного подынтервала неравенство имеет решения. - Если (x/3 + 1) > 0 и (x + 1) > 0, то x > -3 и x > -1/3. Из условия -1 < x < -0.5 следует, что x < -0.5. Таким образом, для данного подынтервала неравенство не имеет решений.

Подынтервал 4: -0.5 < x < 0

Если -0.5 < x < 0, то (x + 1) > 0 и (x + 2) > 0. В этом случае, левая и правая части неравенства имеют одинаковые знаки.

Для данного подынтервала, левая часть неравенства отрицательна, когда (x/3 + 1) < 0 и (x + 1) < 0 или (x/3 + 1) > 0 и (x + 1) > 0. Решая эти неравенства, мы получаем:

- Если (x/3 + 1) < 0 и (x + 1) < 0, то x < -3 и x < -1/3. Из условия -0.5 < x < 0 следует, что x > -0.5. Таким образом, для данного подынтервала неравенство не имеет решений. - Если (x/3 + 1) > 0 и (x + 1) > 0, то x > -3 и x > -1/3. Из условия -0.5 < x < 0 следует, что x < 0. Таким образом, для данного подынтервала неравенство имеет решения.

Подынтервал 5: x > 0

Если x > 0, то (x + 1) > 0 и (x + 2) > 0. В этом случае, левая и правая части неравенства имеют одинаковые знаки.

Для данного подынтервала, левая часть неравенства отрицательна, когда (x/3 + 1) < 0 и (x + 1) < 0 или (x/3 + 1) > 0 и (x + 1) > 0. Решая эти неравенства, мы получаем:

- Если (x/3 + 1) < 0 и (x + 1) < 0, то x < -3 и x < -1/3. Из условия x > 0 следует, что данное неравенство не имеет решений для данного подынтервала. - Если (x/3 + 1) > 0 и (x + 1) > 0, то x > -3 и x > -1/3. Из условия x > 0 следует, что данное неравенство имеет решения для данного подынтервала.

Итоговый результат

Решая каждый из подынтервалов, мы получаем следующие результаты:

- Для подынтервалов x < -2 и -2 < x < -1 неравенство не имеет решений. - Для подынтервала -1 < x < -0.5 неравенство имеет решения. - Для подынтервала -0.5 < x < 0 неравенство не имеет решений. - Для поды