Question

Решить неравенства методом интервалов: a) x³-81x≥0 b) (4x-4)(1+x)(5-x)>0

Answer 1

А) х=0
х=9(2ШТ)
б) х=1
х=-1
х=5

Answer 2

Давайте решим данные неравенства методом интервалов.

a) \(x^3 - 81x \geq 0\)

Сначала найдем корни уравнения \(x^3 - 81x = 0\). Факторизуем его:

\[x(x - 9)(x + 9) = 0\]

Таким образом, корни уравнения: \(x = 0, x = 9, x = -9\).

Теперь рассмотрим интервалы между найденными корнями и за пределами:

1. \((- \infty, -9)\) 2. \((-9, 0)\) 3. \((0, 9)\) 4. \((9, +\infty)\)

Выберем по одной точке из каждого интервала для проверки знака:

1. Выберем \(x = -10\) (взяли точку между \(-\infty\) и \(-9\)): \[(-10)^3 - 81(-10) = -1000 + 810 = -190 < 0\] Знак отрицательный.

2. Выберем \(x = -5\) (взяли точку между \(-9\) и \(0\)): \[(-5)^3 - 81(-5) = -125 + 405 = 280 > 0\] Знак положительный.

3. Выберем \(x = 5\) (взяли точку между \(0\) и \(9\)): \[(5)^3 - 81(5) = 125 - 405 = -280 < 0\] Знак отрицательный.

4. Выберем \(x = 10\) (взяли точку между \(9\) и \(+\infty\)): \[(10)^3 - 81(10) = 1000 - 810 = 190 > 0\] Знак положительный.

Теперь составим решение исходного неравенства:

\[x \in (-\infty, -9) \cup (0, 9)\]

b) \((4x-4)(1+x)(5-x) > 0\)

Также найдем корни уравнения \((4x-4)(1+x)(5-x) = 0\):

1. \(4x - 4 = 0 \Rightarrow x = 1\) 2. \(1 + x = 0 \Rightarrow x = -1\) 3. \(5 - x = 0 \Rightarrow x = 5\)

Теперь рассмотрим интервалы между найденными корнями и за пределами:

1. \((- \infty, -1)\) 2. \((-1, 1)\) 3. \((1, 5)\) 4. \((5, +\infty)\)

Выберем по одной точке из каждого интервала для проверки знака:

1. Выберем \(x = -2\) (взяли точку между \(-\infty\) и \(-1\)): \[(4(-2)-4)(1-2)(5-(-2)) = (-8)(-1)(7) = 56 > 0\] Знак положительный.

2. Выберем \(x = 0\) (взяли точку между \(-1\) и \(1\)): \[(4(0)-4)(1+0)(5-0) = (-4)(1)(5) = -20 < 0\] Знак отрицательный.

3. Выберем \(x = 3\) (взяли точку между \(1\) и \(5\)): \[(4(3)-4)(1+3)(5-3) = (8)(4)(2) = 64 > 0\] Знак положительный.

4. Выберем \(x = 6\) (взяли точку между \(5\) и \(+\infty\)): \[(4(6)-4)(1+6)(5-6) = (20)(7)(-1) = -140 < 0\] Знак отрицательный.

Теперь составим решение исходного неравенства:

\[x \in (-\infty, -1) \cup (1, 5)\]