Question

5sin^2x+14sinxcosx+8cos^2x=0

Answer 1

5sin²x + 14sinx·cosx + 8cos²x = 0  разделим обе части на cos²x≠0
5tg²x + 14tgx + 8 = 0
a = tgx
5a² + 14a + 8 = 0
D/4 = 7² - 5·8 = 49 - 40 = 9
a = (- 7 - 3)/5 = - 2          или                    a = (- 7 + 3)/5 = - 4/5 = - 0,8
tgx = - 2                                                     tgx = - 0,8
x = - arctg 2 + πn, n∈Z                            x = - arctg 0,8 + πk,  k∈Z

Answer 2

Для решения данного уравнения, можно воспользоваться формулой тригонометрического тождества: sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

Заметим, что данное уравнение может быть представлено в виде: 5sin^2(x) + 14sin(x)cos(x) + 8cos^2(x) = (sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) + cos^2(x)) + 4sin^2(x) + 12sin(x)cos(x) + 7cos^2(x) = 1 + 4sin^2(x) + 12sin(x)cos(x) + 7cos^2(x).

Теперь, заменим sin^2(x) на (1 - cos^2(x)): 1 + 4(1 - cos^2(x)) + 12sin(x)cos(x) + 7cos^2(x) = 1 + 4 - 4cos^2(x) + 12sin(x)cos(x) + 7cos^2(x) = 5 + 3cos^2(x) + 12sin(x)cos(x).

Обозначим cos(x) за t, тогда получим: 5 + 3t^2 + 12sin(x)cos(x) = 0.

Умножим данное уравнение на 4: 20 + 12t^2 + 48sin(x)cos(x) = 0.

Теперь, заменим sin(x)cos(x) на (1/2)sin(2x): 20 + 12t^2 + 48(1/2)sin(2x) = 0, 20 + 12t^2 + 24sin(2x) = 0, 12t^2 + 24sin(2x) + 20 = 0.

Решим данное квадратное уравнение относительно t: t = (-24sin(2x) ± √(24sin(2x)^2 - 4*12*20)) / (2*12), t = (-24sin(2x) ± √(576sin(2x)^2 - 960)) / 24, t = (-sin(2x) ± √(sin(2x)^2 - 16)) / 2.

Теперь, рассмотрим два случая:

1) (-sin(2x) + √(sin(2x)^2 - 16)) / 2 = 0: -sin(2x) + √(sin(2x)^2 - 16) = 0, √(sin(2x)^2 - 16) = sin(2x).

Возведем обе части уравнения в квадрат: sin(2x)^2 - 16 = sin^2(2x), sin(2x)^2 - sin^2(2x) = 16, sin^2(2x)(1 - sin^2(2x)) = 16, sin^2(2x)cos^2(2x) = 16.

Теперь, заменим sin^2(2x) на (1 - cos^2(2x)): (1 - cos^2(2x))cos^2(2x) = 16, cos^2(2x) - cos^4(2x) = 16, cos^4(2x) - cos^2(2x) + 16 = 0.

Полученное уравнение является квадратным уравнением относительно cos^2(2x). Решение данного уравнения может быть найдено с помощью квадратного трехчлена.

2) (-sin(2x) - √(sin(2x)^2 - 16)) / 2 = 0: -sin(2x) - √(sin(2x)^2 - 16) = 0, √(sin(2x)^2 - 16) = -sin(2x).

Аналогично первому случаю, возведем обе части уравнения в квадрат: sin(2x)^2 - 16 = sin^2(2x), sin(2x)^2 - sin^2(2x) = -16, sin^2(2x)(1 - sin^2(2x)) = -16, sin^2(2x)cos^2(2x) = -16.

Теперь, заменим sin^2(2x) на (1 - cos^2(2x)): (1 - cos^2(2x))cos^2(2x) = -16, cos^2(2x) - cos^4(2x) = -16, cos^4(2x) - cos^2(2x) + 16 = 0.

Таким образом, решение данного уравнения состоит из решений двух квадратных уравнений относительно cos^2(2x). Дальнейшие шаги для нахождения точных значений x будут зависеть от конкретных числовых значений, которые могут быть получены из решения этих квадратных уравнений.