Question

А)Даны четыре последовательных члена геометрической последовательности. Сумма двух крайних членов ровна 13, двух средних равна 4. Определите эти члены б)Даны три последовательных члена геометрической прогрессии. Их сумма ровна 19, а сумма их квадратов равна 133. Определите эти члены.

Answer 1

А) Четыре последовательных члена геометрической прогрессии:
b, bq, bq², bq³.
$\left \{ {{b+bq^3=13} \atop {bq+bq^2=4}} \right. \\ \left \{ {{b(1+q^3)=13} \atop {bq(1+q)=4}} \right.$
$\left \{ {{bq(1+q)=4}} \atop {\frac{1-q+q^2}{q}=\frac{13}{4}}} \right.$
$\left \{ {{b=\frac{4}{q(1+q)}}} \atop {4-4q+4q^2=13q}}} \right. \\ \left \{ {{4q^2-17q+4=0}}} \atop {b=\frac{4}{q(1+q)}}} \right.$
4q² - 17q + 4 = 0
D = 289 - 64 = 225
q = 1/4 или 4
Если q = 1/4, тогда $b_{1}= \frac{4}{ \frac{1}{4}*(1+\frac{1}{4})}= \frac{64}{5},b_{2}=\frac{16}{5},b_{3}=\frac{4}{5},b_{4}=\frac{1}{5}$.
Если q = 4, тогда $b_{1}= \frac{4}{4*(1+4)}=\frac{1}{5}, b_{2}=\frac{4}{5}, b_{3}=\frac{16}{5}, b_{4}=\frac{64}{5}$.
Т.е. в обоих случаях члены прогрессии: 1/5, 4/5, 16/5, 64/5.

б) Три последовательных члена геометрической прогрессии: b, bq, bq².
$\left \{ {{b+bq+bq^2=19} \atop {b^2+b^2q^2+b^2q^4=133}} \right. \\ \left \{ {{b(1+q+q^2)=19} \atop {b^2(1+q^2+q^4)=133}} \right.$
$\left \{ {{b^2(1+q+q^2)^2=361} \atop {b^2(1+q^2+q^4)=133}} \right. \\ \left \{ {{b^2(1+q^2+q^4+2q+2q^2+2q^3)=361} \atop {b^2(1+q^2+q^4)=133}} \right.$
$\left \{ {{b(1+q+q^2)=19} \atop {2b^2q(1+q+q^2)=228}} \right. \\ \left \{ {{b(1+q+q^2)=19} \atop {bq=6}} \right.$
$\left \{ {{b= \frac{6}{q} } \atop {\frac{6}{q}(1+q+q^2)=19}} \right. \\ \left \{ {{b= \frac{6}{q} } \atop {6+6q+6q^2=19q}} \right.$
6q² - 13q + 6 = 0
D = 169 - 144 = 25
q = 2/3 или 3/2
Если q = 2/3, тогда $b_{1}= \frac{6}{\frac{2}{3}}=9, b_{2}=6, b_{3}=4.$
Если q = 3/2, тогда $b_{1}= \frac{6}{\frac{3}{2}}=4, b_{2}=6, b_{3}=9.$
Т.е. в обоих случаях члены прогрессии: 4, 6, 9.

Answer 2

Решение:

A) Даны четыре последовательных члена геометрической последовательности. Сумма двух крайних членов равна 13, а сумма двух средних равна 4. Определите эти члены

Пусть члены геометрической последовательности обозначены как a, ar, ar^2, ar^3, где a - первый член, r - знаменатель геометрической прогрессии.

Тогда сумма двух крайних членов равна a * ar^3 = a * a^3 * r^3 = a^4 * r^3, и она равна 13.

Сумма двух средних членов равна ar * ar^2 = a^2 * r^3, и она равна 4.

Мы получаем систему уравнений: a^4 * r^3 = 13 a^2 * r^3 = 4

Разделим второе уравнение на первое: (a^2 * r^3) / (a^4 * r^3) = 4 / 13 a^(-2) = 4 / 13

Теперь найдем a: a = (4 / 13)^(-1/2) a = (13 / 4)^(1/2) a = √(13 / 4) a = √13 / 2

Теперь найдем r: a^2 * r = 4 (√13 / 2)^2 * r = 4 13 / 4 * r = 4 r = 4 * 4 / 13 r = 16 / 13

Теперь найдем все члены последовательности: первый член: a = √13 / 2 второй член: ar = (√13 / 2) * (16 / 13) = 8 / √13 третий член: ar^2 = (8 / √13) * (16 / 13) = 128 / 13 четвертый член: ar^3 = (128 / 13) * (16 / 13) = 2048 / 169

Ответ: первый член: a = √13 / 2 второй член: 8 / √13 третий член: 128 / 13 четвертый член: 2048 / 169

Б) Даны три последовательных члена геометрической прогрессии. Их сумма равна 19, а сумма их квадратов равна 133. Определите эти члены

Пусть члены геометрической прогрессии обозначены как a, ar, ar^2.

Тогда сумма членов равна a + ar + ar^2 = 19, и сумма их квадратов равна a^2 + (ar)^2 + (ar^2)^2 = 133.

Мы получаем систему уравнений: a + ar + ar^2 = 19 a^2 + (ar)^2 + (ar^2)^2 = 133

Используя метод замены, можно найти значения a и r.