Question

Доведіть що ab(b-a) < a3 - b3

Answer 1

Ab² - a²b < a³ - b³
ab² + b³ - a²b - a³ < 0
b²(a + b) - a²(a + b) < 0
(a + b)(b² - a²) < 0 
(a + b)(b - a)(a + b) < 0
(a + b)²(b - a) < 0
Ваше неравенство верно только тогда, когда a > b. 

Answer 2

Конечно, я могу помочь с этим математическим выражением. Давайте разберем его по шагам.

Разложение выражения ab(b-a) < a^3 - b^3

Для начала, давайте разложим правую часть неравенства a^3 - b^3 с помощью формулы разности кубов:

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Теперь мы имеем следующее выражение:

ab(b-a) < (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Доказательство неравенства

Для доказательства данного неравенства, давайте разберемся с каждой частью отдельно.

1. Часть ab(b-a)

Рассмотрим выражение ab(b-a). Перепишем его в виде ab^2 - a^2b. Теперь преобразуем это выражение:

ab(b-a) = ab^2 - a^2b

2. Часть (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Теперь рассмотрим выражение (a - b)(a^2 + ab + b^2). Раскроем скобки:

(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 + ab^2 + b^3 - a^2b - ab^2 - b^3 = a^3 - a^2b + ab^2 - b^3

Сравнение выражений

Теперь сравним обе части неравенства:

ab^2 - a^2b < a^3 - a^2b + ab^2 - b^3

Теперь мы видим, что часть ab^2 и -a^2b сокращаются, оставляя нам:

0 < a^3 - b^3

Вывод

Итак, мы доказали, что ab(b-a) < a^3 - b^3.