Question

Последовательность(an ) − арифметическая прогрессия.Найдите сумму двадцати первых ее членов, если a1+a4+a7=45, a4∙a6=315.

Answer 1

Решение в прикреплённом файле

Answer 2

Дано, что последовательность (an) является арифметической прогрессией. Пусть первый член этой прогрессии равен a1, а разность между соседними членами равна d.

Тогда, в соответствии с условием a1 + a4 + a7 = 45, мы можем записать:

a1 + (a1 + 3d) + (a1 + 6d) = 45 3a1 + 9d = 45 a1 + 3d = 15

Также, в соответствии с условием a4 * a6 = 315, мы можем записать:

(a1 + 3d) * (a1 + 5d) = 315 a1^2 + 8ad + 15d^2 = 315

Теперь, используя систему уравнений, мы можем найти значения a1 и d.

Из первого уравнения выразим a1 через d:

a1 = 15 - 3d

Подставим это выражение во второе уравнение:

(15 - 3d)^2 + 8(15 - 3d)d + 15d^2 = 315 225 - 90d + 9d^2 + 120d - 24d^2 + 15d^2 = 315 9d^2 + 21d - 90 = 0

Решим это квадратное уравнение:

d = (-21 ± √(21^2 - 4 * 9 * -90)) / (2 * 9) d = (-21 ± √(441 + 3240)) / 18 d = (-21 ± √(3681)) / 18 d = (-21 ± 61) / 18

Таким образом, получаем два возможных значения для d: d1 = 2 и d2 = -5/3.

1. При d = 2: a1 = 15 - 3 * 2 = 9

Теперь, используя найденные значения a1 и d, мы можем найти сумму двадцати первых членов последовательности:

S20 = (20/2)(2a1 + (20 - 1)d) S20 = 10(2 * 9 + 19 * 2) S20 = 10 * 38 S20 = 380

2. При d = -5/3: a1 = 15 - 3 * (-5/3) = 20

Аналогично, используя найденные значения a1 и d, мы можем найти сумму двадцати первых членов последовательности:

S20 = (20/2)(2a1 + (20 - 1)d) S20 = 10(2 * 20 + 19 * (-5/3)) S20 = 10(40 - 95/3) S20 = 10(120/3 - 95/3) S20 = 10(25/3) S20 = 250/3

Таким образом, сумма двадцати первых членов последовательности (an) равна либо 380, либо 250/3.