Question

Найти интеграл 5^корень из икса

Answer 1

$\displaystyle \int\limits {5^{ \sqrt{x} }} \, dx =\bigg\{t= \sqrt{x} ;\,\,\, dt= \frac{dx}{2 \sqrt{x} } \bigg\}=2 \int\limits {t\cdot 5^t} \, dt=\\ \\ \\ =\bigg\{u=t;\,\,\,\, du=dt;\,\,\,\, dv=5^t;\,\,\, v= \frac{5^t}{\ln 5} dt\bigg\}=\\ \\ \\ = \frac{2t\cdot5^t}{\ln 5} - \frac{2}{\ln 5} \int\limits {5^t} \, dt= \frac{2t\cdot 5^t}{\ln 5}- \frac{2\cdot 5^t}{\ln ^25} +C,\,\,\,\,\,\, t= \sqrt{x}$

Answer 2

Для того, чтобы найти интеграл $$\int 5\sqrt{x}dx$$, можно использовать следующие шаги:

- Вынести константу 5 из-под знака интеграла, так как она не зависит от переменной x: $$\int 5\sqrt{x}dx=5\int \sqrt{x}dx$$ - Переписать корень в виде степени: $$\sqrt{x}=x^{1/2}$$ $$5\int \sqrt{x}dx=5\int x^{1/2}dx$$ - Применить формулу интегрирования степенной функции: $$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$, где n - любое число, кроме -1. $$5\int x^{1/2}dx=5\cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}+C$$ - Упростить выражение, сократив дроби и умножив на 5: $$5\cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}+C=\frac{10}{3}x^{3/2}+C$$

Ответ: $$\int 5\sqrt{x}dx=\frac{10}{3}x^{3/2}+C$$

Если вы хотите проверить свой ответ или посмотреть другие способы решения этой задачи, вы можете воспользоваться одним из следующих ресурсов:

- [Вычислить интеграл 5 квадратный корень из x | Mathway](https://www.mathway.com/ru/popular-problems/Calculus/532096) - это сайт, который показывает пошаговое решение интегралов с помощью различных методов. Вы можете также задать свою собственную функцию для интегрирования. - [Интеграл корня от х, sqrt(x) - Webmath.ru](https://www.webmath.ru/poleznoe/formules_11_3.php) - это справочник, который содержит формулы и примеры вычисления интегралов от корня. Вы можете также найти другие полезные формулы и таблицы по высшей математике. - [Интегралы. Пошаговый калькулятор - MathDF](https://mathdf.com/int/ru/) - это калькулятор, который интегрирует функции, используя методы: замены, рациональных функций и дробей, неопределенных коэффициентов, разложения на множители и другие. Вы можете также увидеть график функции и ее интеграла.