Question

Составьте уравнение косательной : f(x)=e^2x; x0=1

Answer 1

1. Найдём производную:
$(e^{2x})'=e^{2x}\ln e^2=2e^{2x}.$

2. Теперь — касательную:
$y=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)=e^2+2e^{2}(x-1).$

Answer 2

Уравнение касательной:

Для того чтобы составить уравнение касательной к функции \(f(x) = e^{2x}\) в точке \(x_0 = 1\), нам понадобится найти производную функции \(f(x)\) и затем использовать ее значение в точке \(x_0\) для составления уравнения касательной.

Шаг 1: Нахождение производной функции \(f(x)\)

Исходная функция: \(f(x) = e^{2x}\)

Чтобы найти производную этой функции, мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепного правила):

\(\frac{d}{dx}e^{u(x)} = u'(x) \cdot e^{u(x)}\),

где \(u(x)\) - это функция в степени.

Таким образом, для \(f(x) = e^{2x}\) производная будет равна:

\(f'(x) = 2 \cdot e^{2x}\)

Шаг 2: Нахождение значения производной в точке \(x_0 = 1\)

Теперь, чтобы найти значение производной в точке \(x_0 = 1\), мы подставим \(x = 1\) в \(f'(x)\):

\(f'(1) = 2 \cdot e^{2 \cdot 1} = 2 \cdot e^2\)

Таким образом, значение производной в точке \(x_0 = 1\) равно \(2 \cdot e^2\).

Шаг 3: Составление уравнения касательной

Уравнение касательной к функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) имеет вид:

\(y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)\),

где \(f(x_0)\) - значение функции в точке \(x_0\), \(f'(x_0)\) - значение производной в точке \(x_0\).

Таким образом, уравнение касательной к функции \(f(x) = e^{2x}\) в точке \(x_0 = 1\) будет:

\(y - e^2 = 2 \cdot e^2 \cdot (x - 1)\)

Это и есть уравнение касательной к функции \(f(x) = e^{2x}\) в точке \(x_0 = 1\).