Question

1-Найти критические точки функции f(x)=2+9x+3x^2-x^3 2-Найти экстремума функции f(x)=2+9x+3x^2-x^3 Объясните подробно как решать если можно с рисунком

Answer 1

Дана функция  f(x)=2+9x+3x^2-x^3
Найти :
1. критические точки функции ;
2. экстремума функции .
========================
1.
f(x)= - x³ + 3x² + 9x  +2             * * *     ООФ : x ∈ R  * * *
Критическая  точка  функции , эта точка  в которой  ее производная   равна нулю или не существует . Здесь функция  непрерывная и имеет производную в любой точке (многочлен 3-й степени с вещественными коэффициентами ) .
---
f ' (x) = (-x³ + 3x² + 9x  +2 ) ' =  (-x³) ' + (3x²) ' +( 9x ) ' +(2) ' =
(-x³) ' + (3x²) ' +( 9x ) ' +(2) ' = -3x² +3*(x²) ' +9*(x) ' + 0 =
 - 3x² +3*2x +9*1 = - 3(x² -2x -3) = - 3 (x+1)(x - 3).
* * * x² -2x -3= x² -2x -3 =(x² + x) - (3x +3) =x(x + 1) - 3(x +1) =(x+1)(x-3) * * * 
f ' (x) =0  ;
-3(x+1)(x-3) =0 ;     * * * [ x+1 =0 ; x-3 =0 * * *
x₁ = -1 ; 
x₂ = 3 .
Следовательно критические точки функции : - 1 и  3.
-----------------------
2.
Если производная функции в критической точке
a) меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка локального минимума ;
b) меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка локального максимума ;
c) не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.

f ' (x)  = - 3 (x+1)(x-3) 

f ' (x)        " - "                                " + "                                  " - "
----------------------------   (-1) ---------------------------( 3) -----------------------
f(x)     убывает (↓)      min     возрастает(↑)    max            убывает (↓)     
 
(точками экстремума : x = -1 ; x = 3) 
x = -1 является  точкой минимума
x = 3 _точкой максимума 

f(-1) =   -(-1)³ + 3*(-1)² + 9*(-1)  +2  =1 +3 -9+2 = - 3 ;
f(3)  = -3³ +3*3² +9*3 +2 = -27+27 +27 +2 =29 .

(экстремумами функции : -3 и 29 .) 
min ( f(x) ) = f(-1) = - 3 ;
max( f(x) ) = f(3) = 29 .
-----------------------
Удачи !

Answer 2

Критические точки функции f(x) = 2 + 9x + 3x^2 - x^3

Критические точки функции f(x) - это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Чтобы найти критические точки функции f(x) = 2 + 9x + 3x^2 - x^3, нужно найти производную функции и приравнять ее к нулю.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = 9 + 6x - 3x^2

2. Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение: 9 + 6x - 3x^2 = 0

Для решения этого уравнения можно использовать различные методы, например, методы факторизации, квадратного трехчлена или графический метод. Однако, в данном случае, уравнение не является квадратным трехчленом, поэтому для его решения можно воспользоваться численными методами или графическим методом.

Примечание: Для решения уравнения и получения конкретных значений критических точек требуется использование численных методов или графического метода. В данном ответе мы не можем предоставить конкретные значения критических точек без использования этих методов.

3. После нахождения значений x, при которых производная равна нулю, можно подставить эти значения обратно в исходную функцию f(x) = 2 + 9x + 3x^2 - x^3, чтобы найти соответствующие значения y.

Экстремумы функции f(x) = 2 + 9x + 3x^2 - x^3

Экстремумы функции - это точки, в которых функция достигает максимального или минимального значения. Чтобы найти экстремумы функции f(x) = 2 + 9x + 3x^2 - x^3, нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю, и проверить знак производной в окрестности этих точек.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = 9 + 6x - 3x^2

2. Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение: 9 + 6x - 3x^2 = 0

Как уже упоминалось ранее, для решения этого уравнения требуется использование численных методов или графического метода.

3. После нахождения значений x, при которых производная равна нулю, можно проверить знак производной в окрестности этих точек, чтобы определить тип экстремума (максимум или минимум).

- Если производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет локальный максимум. - Если производная меняет знак с