Question

Найдите целые решения неравенств x²-3/x²-1>1

Answer 1

$\frac{x^2-3}{x^2-1} \ \textgreater \ 1\\\\ \frac{x^2-3}{x^2-1} -1\ \textgreater \ 0\\\\ \frac{x^2-3-x^2+1}{x^2-1} \ \textgreater \ 0\\\\ \frac{-2}{(x-1)(x+1)} \ \textgreater \ 0\; \; \Rightarrow \; \; \; (x-1)(x+1)\ \textless \ 0\\\\+++(-1)---(1)+++\\\\x\in (-1,1)$

Answer 2

Для того чтобы найти целые решения неравенства: $$\frac{x^2 - 3}{x^2 - 1} > 1$$ давайте рассмотрим его подробнее.

Исходное неравенство

Начнем с исходного неравенства: $$\frac{x^2 - 3}{x^2 - 1} > 1$$

Решение неравенства

Для начала, давайте приведем неравенство к общему знаменателю: $$\frac{x^2 - 3}{x^2 - 1} - 1 > 0$$

Упрощаем: $$\frac{x^2 - 3 - (x^2 - 1)}{x^2 - 1} > 0$$ $$\frac{x^2 - 3 - x^2 + 1}{x^2 - 1} > 0$$ $$\frac{-2}{x^2 - 1} > 0$$

Теперь давайте рассмотрим знаки числителя и знаменателя неравенства.

Знак числителя

Числитель равен $-2$, который всегда отрицательный.

Знак знаменателя

Для определения знака знаменателя неравенства, рассмотрим его факторизацию: $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$

Таким образом, знаменатель равен нулю при $x = 1$ и $x = -1$. Это важно, так как знаменатель не может быть равен нулю в неравенствах.

Знак неравенства

Теперь, используя знаки числителя и знаменателя, мы можем определить знак неравенства.

- Если знаменатель положителен ($x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \infty)$), то неравенство переворачивается при умножении на отрицательное число. Таким образом, мы получаем: $$-2 > 0$$ Неравенство не выполняется.

- Если знаменатель отрицателен ($x \in (-1, 1)$), то неравенство сохраняет свой знак при умножении на отрицательное число. Таким образом, мы получаем: $$-2 < 0$$ Неравенство выполняется.

Целые решения

Исходя из анализа знаков, мы можем сделать вывод, что целые решения данного неравенства находятся в интервале $x \in (-1, 1)$. Целые числа, удовлетворяющие этому условию, включают $0$.

Таким образом, единственным целым решением неравенства $x^2 - \frac{3}{x^2 - 1} > 1$ является $x = 0$.