Question

Исследуйте функцию y=1/3x^3-x^2-3x+1/3

Answer 1

Всё подробно написала в решении.

Answer 2

Данная функция имеет вид y = (1/3)x^3 - x^2 - 3x + (1/3).

Чтобы более подробно исследовать эту функцию, мы можем проанализировать ее основные характеристики, такие как область определения, интервалы возрастания и убывания, экстремумы, точки перегиба и график функции.

Область определения:

Область определения функции определяется всеми значениями x, для которых функция определена. В данном случае, так как уравнение содержит только степенные функции, функция определена для всех действительных чисел.

Интервалы возрастания и убывания:

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, мы должны найти ее производную и проанализировать знаки производной.

Для данной функции, первая производная будет: y' = d/dx [(1/3)x^3 - x^2 - 3x + (1/3)] = x^2 - 2x - 3

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, мы должны найти значения x, для которых y' > 0 (функция возрастает) и y' < 0 (функция убывает).

Решим уравнение x^2 - 2x - 3 = 0: (x - 3)(x + 1) = 0 x = 3 или x = -1

Это означает, что функция возрастает на интервалах (-∞, -1) и (3, +∞), и убывает на интервале (-1, 3).

Экстремумы:

Чтобы найти экстремумы функции, мы должны найти значения x, для которых производная равна нулю.

Решим уравнение x^2 - 2x - 3 = 0: (x - 3)(x + 1) = 0 x = 3 или x = -1

Это означает, что функция имеет локальный максимум в точке x = 3 и локальный минимум в точке x = -1.

Точки перегиба:

Чтобы найти точки перегиба функции, мы должны найти значения x, для которых вторая производная равна нулю или не существует.

Вторая производная данной функции будет: y'' = d^2/dx^2 [(1/3)x^3 - x^2 - 3x + (1/3)] = 2x - 2

Решим уравнение 2x - 2 = 0: 2x = 2 x = 1

Это означает, что функция имеет точку перегиба в точке x = 1.

График функции:

На основе полученной информации, мы можем построить график функции y = (1/3)x^3 - x^2 - 3x + (1/3).


На графике видно, что функция имеет локальный максимум в точке x = 3, локальный минимум в точке x = -1 и точку перегиба в точке x = 1. Также, функция возрастает на интервалах (-∞, -1) и (3, +∞), и убывает на интервале (-1, 3).

Это подробное исследование функции y = (1/3)x^3 - x^2 - 3x + (1/3). Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте знать!