Question

log2(x-5)+log2(x+2)=3

Answer 1

$\log_2(x-5)+\log_2(x+2)=3\\ \log_2(x-5)(x+2)=\log_28\\ \begin{cases} x-5>0\\x+2>0\\(x-5)(x+2)=8\end{cases}\\ \begin{cases} x>5\\x>-2\\(x-5)(x+2)=8\end{cases}\\ x^2+2x-5x-10=8\\ x^2-3x-18=0\\ x_1=-3;\ x_2=6$

-3 - не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 6

Answer 2

Для решения уравнения log2(x-5) + log2(x+2) = 3, мы можем использовать свойства логарифмов и алгебраические методы. Давайте разберемся подробно:

1. Применим свойство логарифмов log(a) + log(b) = log(a * b) и запишем уравнение в виде единичного логарифма: log2((x-5) * (x+2)) = 3

2. Используем свойство логарифма log(b, b^a) = a и перепишем уравнение в экспоненциальной форме: (x-5) * (x+2) = 2^3

3. Раскроем скобки и упростим уравнение: x^2 - 3x - 10 = 8

4. Перенесем все члены влево и получим квадратное уравнение: x^2 - 3x - 18 = 0

5. Решим квадратное уравнение. Мы можем использовать факторизацию, завершение квадрата или квадратное уравнение.

Метод факторизации: Разложим -18 на два множителя, которые в сумме дают -3: (x - 6)(x + 3) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения x: x - 6 = 0 => x = 6 x + 3 = 0 => x = -3

Метод завершения квадрата: Перепишем уравнение в форме завершенного квадрата: (x - (3/2))^2 = 49/4

Затем извлечем квадратный корень с обеих сторон уравнения: x - (3/2) = ±(7/2)

Решим для x: x = (3/2) ± (7/2) x = 5/2, -1

Таким образом, получаем два возможных значения x: x = 5/2, -1

Метод решения квадратного уравнения: Мы можем использовать формулу дискриминанта для решения квадратного уравнения: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

В нашем случае: a = 1, b = -3, c = -18

Подставим значения в формулу: x = (-(-3) ± √((-3)^2 - 4 * 1 * (-18))) / (2 * 1) x = (3 ± √(9 + 72)) / 2 x = (3 ± √81) / 2 x = (3 ± 9) / 2

Таким образом, получаем два возможных значения x: x = (3 + 9) / 2 = 12/2 = 6 x = (3 - 9) / 2 = -6/2 = -3

Итак, уравнение log2(x-5) + log2(x+2) = 3 имеет три решения: x = 6, x = 5/2 и x = -1. Убедитесь, что проверяете каждое решение, подставляя его обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться в его правильности.