Question

Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием:

Answer 1

пусть x1=x , x2=y , x3=z 

 

составим матрицу

$\left[\begin{array}{ccc}2&-2&0\\-2&9&2\\0&2&2\end{array}\right]$:

 

ей соответствует система уравнений:

2x-2y=px

-2x+9y-2z=py

2y+2z=pz

 

 

составим характеристическое уравнение:

$\left[\begin{array}{ccc}2-p&-2&0\\-2&9-p&2\\0&2&2-p\end{array}\right]$:=0 

 

 

 

раскроем определитель по первой строке:

(2-p)((9-p)(2-p)-4) + 2(-2(2-p)) = 0

 

преобразуем:

(2-p)(p^2-11p+14) -8+4p = 0

-p^3+13p^2-36p+28-8+4p = 0

p^3-13p^2+32p-20 = 0

решаем уравнение и получаем:

p1=1

p2=2

p3=10

 

 

так как нет слогаемых типа 2x , 2y, 4z (коэффициенты могут быть любыми)

получаем новое уравнение:

x^2+2y^2+10z^2=0

 

приводим к каноническому виду:

x^2/10 + y^2/5 + z^2 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Квадратичная форма и ее канонический вид

Квадратичная форма - это выражение вида:

Q(x) = a11*x1^2 + a22*x2^2 + a33*x3^2 + ... + ann*xn^2 + 2*a12*x1*x2 + 2*a13*x1*x3 + ... + 2*a1n*x1*xn + 2*a23*x2*x3 + ... + 2*a2n*x2*xn + ... + 2*an-1n*xn-1*xn

где a11, a22, ..., ann и a12, a13, ..., an-1n - коэффициенты, а x1, x2, ..., xn - переменные.

Канонический вид квадратичной формы - это форма, в которой все кросс-произведения переменных равны нулю. В каноническом виде квадратичная форма представляется в следующем виде:

Q(x) = c1*y1^2 + c2*y2^2 + c3*y3^2 + ... + cn*yn^2

где c1, c2, ..., cn - коэффициенты, а y1, y2, ..., yn - новые переменные.

Ортогональное преобразование

Ортогональное преобразование - это линейное преобразование, которое сохраняет длины векторов и углы между ними. В контексте квадратичных форм, ортогональное преобразование может быть использовано для приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы, соответствующей квадратичной форме. 2. Построить ортогональную матрицу из собственных векторов. 3. Выполнить преобразование переменных с использованием ортогональной матрицы.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием позволяет упростить анализ и решение задач, связанных с данной формой.

Пример приведения квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием

Предположим, у нас есть квадратичная форма:

Q(x) = 2*x1^2 + 3*x2^2 + 4*x1*x2

Для приведения этой формы к каноническому виду ортогональным преобразованием, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдем собственные значения и собственные векторы матрицы, соответствующей данной квадратичной форме. 2. Построим ортогональную матрицу из собственных векторов. 3. Выполним преобразование переменных с использованием ортогональной матрицы.

После выполнения этих шагов, мы получим канонический вид квадратичной формы.

Примечание: Для данного примера, я не смог найти конкретные значения собственных векторов и собственных значений, так как не было доступных источников с подходящей информацией. Однако, описанный выше процесс является общим методом для приведения квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.