Question

Исследуйте функцию y=8x^3 - 3x^4 - 7 на максимум и минимум. Срооочно,помогите пожалуйста !

Answer 1

$y=8x^3 - 3x^4 - 7\\y^{,}=24x^{2}-12x^{3}\\24x^{2}-12x^{3}=0\\12x^{2}(2-x)=0\\x_{1,2}=0;x_{3}=2.$

Так как точка х=0 являетсядвойной, то производная в ней не меняет знак, следовательно эта точка не будет экстремумом, она является точкой перегиба, а в точке х = 2 производная меняет свой знак с + на - (смотрим слева направо), значит в этой точке функция будет иметь максимум. у(2)= 8*8-3*16=16. Точка максимума будет иметь координаты (2;16).

Answer 2

Для исследования функции y = 8x^3 - 3x^4 - 7 на максимум и минимум, мы можем использовать методы дифференциального исчисления. Давайте начнем с нахождения производной этой функции.

Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции y = 8x^3 - 3x^4 - 7, мы можем применить правила дифференцирования. Производная функции позволяет нам определить, где функция достигает экстремумов (максимумов и минимумов).

Производная функции y = 8x^3 - 3x^4 - 7 будет равна:

y' = 24x^2 - 12x^3

Нахождение критических точек

Чтобы найти критические точки функции, мы должны найти значения x, при которых производная равна нулю или не существует. Для этого приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

24x^2 - 12x^3 = 0

Факторизуем это уравнение:

12x^2(2 - x) = 0

Отсюда мы получаем два значения x:

x = 0 и x = 2

Определение типа критических точек

Теперь, чтобы определить, являются ли эти критические точки максимумами или минимумами, мы можем использовать вторую производную тест или анализ знаков.

Вторая производная тест

Для второй производной функции y = 8x^3 - 3x^4 - 7, мы должны найти производную от производной (y''):

y'' = 48x - 36x^2

Теперь мы можем подставить значения x = 0 и x = 2 во вторую производную, чтобы определить тип критических точек.

При x = 0:

y''(0) = 48(0) - 36(0)^2 = 0

При x = 2:

y''(2) = 48(2) - 36(2)^2 = -96

Анализ знаков

Теперь давайте проанализируем знаки второй производной в окрестности критических точек.

Для x < 0, y'' < 0, что означает, что функция выпукла вниз.

Для 0 < x < 2, y'' > 0, что означает, что функция выпукла вверх.

Для x > 2, y'' < 0, что означает, что функция выпукла вниз.

Определение максимума и минимума

Исходя из второй производной теста и анализа знаков, мы можем сделать следующие выводы:

- При x = 0, функция имеет точку перегиба. - При x = 2, функция имеет локальный максимум.

Таким образом, функция y = 8x^3 - 3x^4 - 7 имеет локальный максимум при x = 2.

Заключение

Исследовав функцию y = 8x^3 - 3x^4 - 7, мы определили, что она имеет локальный максимум при x = 2. Это означает, что значение функции достигает наибольшего значения в этой точке.