Question

Найти первый член и разность арифметической прогре- сии, если сумма семи первых ее членов равна 94,5, а сумма пятнадцати первых членов равна 112,5

Answer 1

$S_7=94,5\\S_{15}=112,5\\\\S_n= \frac{2a_1+d(n-1)}{2}*n\\\\ \frac{2a_1+6d}{2}*7=94,5\\(a_1+3d)*7=94,5\\7a_1+21d=94,5\\a_1+3d=13,5\\a_1=13,5-3d\\\\ \frac{2a_1+14d}{2}*15=112,5\\(a_1+7d)*15=112,5\\a_1+7d=7,5\\a_1=7,5-7d\\\\13,5-3d=7,5-7d\\7d-3d=7,5-13,5 \\4d=-6\\d=-1,5\\\\a_1=13,5-3*(-1,5)=13,5+4,5=18\\\\a_1=18\; \; \; \; d=-1,5$

Answer 2

Для нахождения первого члена и разности арифметической прогрессии, у которой сумма семи первых членов равна 94,5, а сумма пятнадцати первых членов равна 112,5, мы можем воспользоваться системой уравнений.

Пусть \(a\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии, \(n\) - количество членов.

Найти первый член арифметической прогрессии

Мы знаем, что сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \[S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1)d)\]

Найти разность арифметической прогрессии

Также мы знаем, что разность прогрессии \(d\) можно найти из формулы: \[d = \frac{S_n - a_n}{n-1}\] где \(a_n\) - n-ый член прогрессии.

Решение системы уравнений

Используя данные из условия задачи, подставим значения в систему уравнений: \[\begin{cases} 94.5 = \frac{7}{2} \cdot (2a + 6d)\\ 112.5 = \frac{15}{2} \cdot (2a + 14d) \end{cases}\]

Решив эту систему уравнений, мы сможем найти значения \(a\) и \(d\).