Question

Найдите решения уравнения 1+tg^2x-1/cos^2x=sin x-√2/2

Answer 1

По формуле 1+$tg^{2}x=\frac{1}{cos^{2}x}$, тогда получается 

0=sinx - $\frac{\sqrt{2}}{2}$

sinx= $\frac{\sqrt{2}}{2}$

x = $\frac{\pi}{4} + \pi k$

x= $\frac{3\pi}{4} + \pi k$

Answer 2

Для решения этого уравнения, сначала нужно преобразовать его к более простому виду, используя тригонометрические тождества. Например, можно воспользоваться формулой $$\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$$ и выразить все функции через синус и косинус. Тогда уравнение примет вид:

$$1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{1}{\cos^2 x} = \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Далее, можно привести все дроби к общему знаменателю и получить:

$$\frac{\cos^2 x + \sin^2 x - 1}{\cos^2 x} = \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Затем, можно воспользоваться еще одним тождеством $$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$$ и упростить левую часть уравнения:

$$\frac{1 - 1}{\cos^2 x} = \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$0 = \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Отсюда, можно выразить синус и найти решения уравнения:

$$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$x = \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n$$

или

$$x = \pi - \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n$$

где $$n$$ - любое целое число.

Если использовать таблицу значений синуса или калькулятор, то можно найти приближенные значения решений:

$$x \approx 0.785 + 6.283 n$$

или

$$x \approx 2.356 + 6.283 n$$

Это ответ на заданный вопрос. Для более подробного объяснения тригонометрических тождеств и уравнений, вы можете посмотреть следующие источники:

- [Как решать тригонометрические уравнения: 8 шагов](https://ru.wikihow.com/%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B0%D1%82%D1%8C-%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5-%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F) - [Using trigonometric identities (video) | Khan Academy](https://www.khanacademy.org/math/precalculus/x9e81a4f98389efdf:trig/x9e81a4f98389efdf:using-trig-id/v/examples-using-pythagorean-identities-to-simplify-trigonometric-expressions) - [Mathway | Решение задач по тригонометрии](https://www.mathway.com/ru/Trigonometry) - [Goniometrické vzorce - dostudujte.cz](https://www.dostudujte.cz/matematika/matematicke-vzorce/goniometricke-vzorce)