Question

1) исследовать функцию на монотонность: y=6x-2x^3 2) найти точки экстремума и значения функции в этих точках: y=x/3+3/x 3) построить графики функций: а) y=2x^4-x^2+1 ; в) y=x^3-3x 4) найти наибольшее M-? и наименьшее значение m-? функции : y=x+4/x на [ 1 ;5 ]

Answer 1

Решение ответ и графики на фото.

Answer 2

Исследование функции на монотонность: y = 6x - 2x^3

Для исследования функции на монотонность, нужно найти производную функции и проанализировать ее знаки.

1. Найдем производную функции y = 6x - 2x^3: - y' = 6 - 6x^2

2. Анализ знаков производной: - Когда производная положительна (y' > 0), функция возрастает. - Когда производная отрицательна (y' < 0), функция убывает.

3. Найдем точки, где производная равна нулю: - 6 - 6x^2 = 0 - 6x^2 = 6 - x^2 = 1 - x = ±1

4. Анализ знаков функции в интервалах: - При x < -1, производная отрицательна, следовательно, функция убывает. - При -1 < x < 1, производная положительна, следовательно, функция возрастает. - При x > 1, производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Ответ: Функция y = 6x - 2x^3 возрастает на интервале (-1, 1) и убывает на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞)..

Нахождение точек экстремума и значений функции в этих точках: y = x/3 + 3/x

Для нахождения точек экстремума, нужно найти производную функции и решить уравнение y' = 0. Затем, подставить найденные значения x в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y.

1. Найдем производную функции y = x/3 + 3/x: - y' = 1/3 - 3/x^2

2. Решим уравнение y' = 0: - 1/3 - 3/x^2 = 0 - 1 - 9/x^2 = 0 - 9/x^2 = 1 - x^2 = 9 - x = ±3

3. Найдем значения функции в найденных точках: - При x = 3, y = 3/3 + 3/3 = 2 - При x = -3, y = -3/3 + 3/-3 = -2

Ответ: Точки экстремума функции y = x/3 + 3/x: (3, 2) и (-3, -2).

Построение графиков функций: а) y = 2x^4 - x^2 + 1; в) y = x^3 - 3x + 4

Для построения графиков функций, можно использовать графические инструменты, такие как графические калькуляторы или программы для построения графиков.

График функции а) y = 2x^4 - x^2 + 1:


График функции в) y = x^3 - 3x + 4:


Ответ: Графики функций а) y = 2x^4 - x^2 + 1 и в) y = x^3 - 3x + 4 представлены выше..

Нахождение наибольшего M и наименьшего значения m функции y = x + 4/x на интервале [1, 5]

Для нахождения наибольшего M и наименьшего значения m функции на заданном интервале, нужно найти экстремумы функции и значения функции на концах интервала.

1. Найдем экстремумы функции, решив уравнение y' = 0: - y' = 1 - 4/x^2 = 0 - 1 = 4/x^2 - x^2 = 4 - x = ±2

2. Найдем значения функции в найденных экстремумах и на концах интервала: - При x = 1, y = 1 + 4/1 = 5 - При x = 2, y = 2 + 4/2 = 4 - При x = 5, y = 5 + 4/5 = 5.8

3. Наибольшее M будет равно максимальному значению функции на интервале, то есть M = 5.8. 4. Наименьшее значение m будет равно минимальному значению функции на интервале, то есть m = 4.

Ответ: Наибольшее M для функции y = x + 4/x на интервале [1, 5] равно 5.8, а наименьшее значение m равно 4.