Question

Как можно упростить уравнение: x^4 + 2x^2-3x+1

Answer 1

Что вы понимаете под словом упростить? И где уравнение-то само?

Если упростить = записать в виде многочлена в стандартной форме, то все ок. Если хочется раскладывать на множители, то это можно делать методом неопределенных коэффициентов.

Пусть исходный многочлен - произведение 2 квадратных трехленов (x^2+ax+b)(x^2+px+q)

Дальше приравниваем коэффициенты при равных степенях.

 

0 = a + p

2 = q + ap + b

-3 = bp + aq

1 = bq

 

Из первого p=-a. Из последнего q=1/b.

 

2 = 1/b - a^2 + b

-3 = -ab + a/b

 

Дальше можно, например, выразить a из первого и из второго

 

a^2 = 1/b + b - 2 = (b^2 - 2b + 1)/b=(b-1)^2 / b
a = 3/(1-1/b) = 3b / (b-1) 

 

9b^2/(b-1)^2 = (b-1)^2 / b

9b^3 = (b-1)^4

 

и дальше все очень нехорошо.

 

Впрочем, можно понять, что и этого многочлена нет корней. Например, привлекая производную. Производная равна 4x^3+4x-3. Например, по второй производной можно понять, что у производной только 1 ноль, заключенный между 0 и 1. Для таких иксов x^2+2x^2-3x+1>x^2+2x^2+1>=0.

 

При разложении на множители можно вспользоваться и таким утверждением: если многочлены совпадают на каком-то промежутке, то они совпадают везде. В частности, при x>0 можно применять разность квадратов.

x^4 + 2x^2 - 3x + 1 = (x^2 + 1)^2 - 3x = (x^2+1-sqrt(3x))(x^2+1+sqrt(3x))

Теперь имеем относительно t = sqrt(x) уже кубические многочлены (впрочем

, особой радости от этого нет - все равно отсюда ничего путного не получается.

 

 

Answer 2

Да, конечно! Я могу помочь упростить это уравнение.

Уравнение, которое вы предоставили, является квадратным уравнением с переменной x в степенях 4, 2 и 1. Чтобы упростить его, мы можем попытаться факторизовать его или применить другие методы.

Факторизация уравнения

К сожалению, данное уравнение не может быть просто факторизовано. Это квадратное уравнение четвертой степени, которое не имеет простых факторов.

Другие методы упрощения

Если факторизация не работает, мы можем попробовать другие методы, такие как замена переменной или использование численных методов.

Замена переменной

Один из способов упростить это уравнение - это ввести новую переменную, чтобы свести его к более простому виду. Давайте предположим, что u = x^2. Тогда уравнение примет вид:

u^2 + 2u - 3x + 1 = 0

Теперь мы имеем уравнение с одной переменной u, которое может быть проще решить. Мы можем использовать методы решения квадратных уравнений, чтобы найти значения u, а затем подставить их обратно, чтобы найти значения x.

Численные методы

Если уравнение не может быть аналитически упрощено, мы можем использовать численные методы для приближенного решения. Например, метод Ньютона-Рафсона или метод бисекции могут быть использованы для нахождения приближенных значений корней уравнения.

Заключение

В общем, уравнение x^4 + 2x^2 - 3x + 1 не может быть просто упрощено путем факторизации. Мы можем попробовать использовать замену переменной или численные методы для приближенного решения. Если у вас есть конкретные значения x, с которыми вы хотите работать, я могу помочь вам вычислить результат.