Question

найдите площадь плоской фигуры ограниченой лииниями у=x^4 и у = 1 с помощю интеграла если можно с рисунком прошу последняя надежда!!!!!!

Answer 1

Точки пересечения кривой y = x^4 и прямой y = 1 находим, приравняв уравнения: х1 = 1, х2 = -1. Это пределы интегрирования.
Итак, нам требуется вычислить определенный интеграл от функции y = x^4 по пределам от -1 до 1.
Первообразная равна x^5/5. Подставляем верхний предел, равный 1, получаем 1/5. Подставляем нижний предел, равный -1, получаем - 1/5.
Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, отнимаем от первого значения второе:
1/5 - (- 1/5) = 2/5.
Это и есть искомая площадь.
Ответ: 2/5.

Answer 2

Calculating the Area of the Bounded Region

To find the area of the region bounded by the curves \(y = x^4\) and \(y = 1\), we can use integration. The area \(A\) of the region is given by the integral of the difference between the upper and lower curves with respect to \(x\):

\[A = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx\]

Where \(f(x)\) is the upper curve and \(g(x)\) is the lower curve, and \(a\) and \(b\) are the x-values where the curves intersect.

Identifying the Intersection Points

First, we need to find the x-values where the curves intersect. Setting \(y = x^4\) equal to \(y = 1\) gives us the x-values of intersection.

\[x^4 = 1\]

Solving for \(x\), we get:

\[x = \pm 1\]

So, the curves intersect at \(x = -1\) and \(x = 1\).

Calculating the Area

Now, we can calculate the area using the definite integral:

\[A = \int_{-1}^{1} (x^4 - 1) \, dx\]

\[A = \left[\frac{x^5}{5} - x\right]_{-1}^{1}\]

\[A = \left(\frac{1}{5} - 1\right) - \left(-\frac{1}{5} + 1\right)\]

\[A = \left(\frac{1}{5} - \frac{5}{5}\right) - \left(-\frac{1}{5} + \frac{5}{5}\right)\]

\[A = \left(-\frac{4}{5}\right) - \left(\frac{4}{5}\right)\]

\[A = -\frac{8}{5}\]

So, the area of the region bounded by the curves \(y = x^4\) and \(y = 1\) is \(-\frac{8}{5}\) square units.

Conclusion

The area of the bounded region is \(-\frac{8}{5}\) square units.