Question

Докажите тождество sina*cos3a-cosa*sin3a=cos(3pi/2 - 2a)

Answer 1

sina*cos3a-cosa*sin3a=-sin(a-3a)=-sin2a=cos(3pi/2-2a)

Answer 2

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулами для синуса и косинуса угла суммы:

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

Теперь запишем тождество в виде:

sin(a)cos(3a) - cos(a)sin(3a) = cos(3π/2 ± 2a)

Преобразуем левую часть выражения, используя формулы для синуса и косинуса угла суммы:

sin(a)cos(3a) - cos(a)sin(3a) = sin(a)(cos(a)cos(2a) - sin(a)sin(2a)) - cos(a)(cos(2a)sin(a) + sin(2a)cos(a))

Раскроем скобки и упростим выражение:

sin(a)(cos(a)cos(2a) - sin(a)sin(2a)) - cos(a)(cos(2a)sin(a) + sin(2a)cos(a)) = sin(a)cos(a)cos(2a) - sin^2(a)sin(2a) - cos(a)cos(2a)sin(a) - sin(2a)cos^2(a)

Теперь воспользуемся формулой для косинуса угла, умноженного на 2:

cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)

Подставим эту формулу в выражение:

sin(a)cos(a)cos(2a) - sin^2(a)sin(2a) - cos(a)cos(2a)sin(a) - sin(2a)cos^2(a) = sin(a)cos(a)(cos^2(a) - sin^2(a)) - sin^2(a)sin(2a) - cos(a)(cos^2(a) - sin^2(a))sin(a) - sin(2a)cos^2(a)

Раскроем скобки и упростим выражение:

sin(a)cos(a)(cos^2(a) - sin^2(a)) - sin^2(a)sin(2a) - cos(a)(cos^2(a) - sin^2(a))sin(a) - sin(2a)cos^2(a) = sin(a)cos(a)cos^2(a) - sin(a)cos(a)sin^2(a) - cos(a)cos^2(a)sin(a) + cos(a)sin^2(a)sin(a) - sin^2(a)sin(2a) - cos(a)cos^2(a)sin(a) - sin(2a)cos^2(a)

Теперь воспользуемся формулой для синуса угла, умноженного на 2:

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Подставим эту