Question

Решить sin(x+1)=sinx+sin1

Answer 1

Sin(x+1) =sinx+sin1;
2sin(x+1)/2* cos(x+1)/2 =2sin(x+1)/2*cos(x-1)/2 ;
sin(x+1)/2 (cos(x+1)/2 - cos(x-1)/2) =0 ;
-2sin(x+1)/2*sin(x/2)*sin1/2 =0 ;
-2sin1/2 ≠ 0 ;
[sin(x+1)/2 = 0 ; sin(x/2) = 0.
[(x+1)/2 = πk ; x/2 = πk.
[x = 2πk -1  ; x =2 πk , k∈Z. 

Answer 2

Для решения уравнения sin(x+1) = sin(x) + sin(1) нужно использовать тригонометрические тождества и свойства синуса. Давайте разберемся поэтапно.

Используем свойства синуса

Свойство 1: sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Применим это свойство к левой части уравнения:

sin(x+1) = sin(x)cos(1) + cos(x)sin(1)

Используем тригонометрические тождества

Тождество 1: sin(a)cos(b) = (1/2)(sin(a+b) + sin(a-b)) Тождество 2: cos(a)sin(b) = (1/2)(sin(a+b) - sin(a-b))

Заменим sin(x)cos(1) и cos(x)sin(1) с использованием тождеств 1 и 2:

sin(x+1) = (1/2)(sin(x+1+1) + sin(x+1-1)) + (1/2)(sin(x+1+1) - sin(x+1-1))

Упростим выражение:

sin(x+1) = (1/2)(sin(x+2) + sin(x)) + (1/2)(sin(x+2) - sin(x))

Введем новую переменную y = x + 2 и заменим x+2 в уравнении:

sin(y-1) = (1/2)(sin(y) + sin(y-2)) + (1/2)(sin(y) - sin(y-2))

Упростим выражение:

sin(y-1) = sin(y) + (1/2)(sin(y-2) - sin(y)) + (1/2)(sin(y) - sin(y-2))

Упрощение уравнения

Объединим слагаемые синусов:

sin(y-1) = sin(y) + sin(y-2) - sin(y)/2 + sin(y)/2

Упростим выражение:

sin(y-1) = sin(y-2)

Поиск решений

Теперь мы имеем уравнение sin(y-1) = sin(y-2). Чтобы найти решения, мы должны найти значения y, которые удовлетворяют этому уравнению.

Обратимся к тригонометрическому тождеству:

sin(a) = sin(b) имеет решения, когда a = b + 2πn или a = π - b + 2πn, где n - целое число.

Применим это к нашему уравнению:

y - 1 = y - 2 + 2πn или y - 1 = π - (y - 2) + 2πn

Для первого случая:

y - 1 = y - 2 + 2πn 1 = 2 + 2πn 2πn = -1 n = -1/(2π)

Для второго случая:

y - 1 = π - (y - 2) + 2πn y - 1 = π - y + 2 + 2πn 2y = π + 3 - 2πn y = (π + 3 - 2πn)/2

Переход обратно к переменной x

Теперь, когда мы знаем значения y, мы можем вернуться к переменной x, используя уравнение y = x + 2:

y = (π + 3 - 2πn)/2 x + 2 = (π + 3 - 2πn)/2 x = (π + 3 - 2πn)/2 - 2

Таким образом, мы получаем решения уравнения sin(x+1) = sin(x) + sin(1):

x = (π + 3 - 2πn)/2 - 2, где n - целое число.

Обратите внимание, что это общая формула, и она дает нам бесконечное количество решений в виде различных значений x, которые удовлетворяют исходному уравнению.