Question

найти производную: y=arcctg*1+z/1-z

Answer 1

$(\arctan\frac{1+z}{1-z})'_z=\frac{1}{1+(\frac{1+z}{1-z})^2}*\frac{1*(1-z)-(-1)(1+z)}{(1-z)^2}=$

$=\frac{1}{1+(\frac{1+z}{1-z})^2}*\frac{1-z+1+z}{(1-z)^2}=\frac{2}{(1-z)^2+(1+z)^2}=$

$=\frac{2}{2+2z^2}=\frac{1}{1+z^2}$

Ответ: $\frac{1}{1+z^2}$

Answer 2

Для нахождения производной функции \( y = \text{arcctg} \left(1 + \frac{z}{1-z}\right) \) воспользуемся методом дифференцирования сложной функции. Давайте пошагово найдем производную данной функции.

Нахождение производной:

1. Замещение функции: Пусть \( u = 1 + \frac{z}{1-z} \). Тогда исходная функция примет вид \( y = \text{arcctg}(u) \).

2. Нахождение производной \( u \): Выразим \( u \) как функцию от \( z \): \[ u = 1 + \frac{z}{1-z} = \frac{1-z+z}{1-z} = \frac{1}{1-z} \] Теперь найдем производную \( u \) по \( z \): \[ \frac{du}{dz} = \frac{d}{dz} \left( \frac{1}{1-z} \right) = \frac{1}{(1-z)^2} \cdot (-1) = -\frac{1}{(1-z)^2} \]

3. Нахождение производной \( y \): Теперь мы можем найти производную \( y \) по \( z \) с помощью цепного правила дифференцирования: \[ \frac{dy}{dz} = \frac{d}{du}(\text{arcctg}(u)) \cdot \frac{du}{dz} \] где \( \frac{d}{du}(\text{arcctg}(u)) \) - производная арккотангенса.

4. Производная арккотангенса: Производная арккотангенса \( \text{arcctg}(u) \) равна: \[ \frac{d}{du}(\text{arcctg}(u)) = -\frac{1}{1+u^2} \]

5. Вычисление производной \( y \): Подставим производные арккотангенса и \( u \) в выражение для производной \( y \): \[ \frac{dy}{dz} = -\frac{1}{1+u^2} \cdot \left( -\frac{1}{(1-z)^2} \right) = \frac{1}{(1-z)^2(1+u^2)} \]

Таким образом, производная функции \( y = \text{arcctg} \left(1 + \frac{z}{1-z}\right) \) равна \( \frac{1}{(1-z)^2(1+u^2)} \), где \( u = \frac{1}{1-z} \).