Question

Найдите промежутки возрастания функции f(x)=x(3-x^2)

Answer 1

$f(x)=x(3-x^2)=3x-x^3 \\ \\ f'(x)=3-3x^2 \\ \\ \\ f'(x)=0 \\ 3-3x^2=0 \\ 1-x^2=0 \\ x^2=1 \\ x=\pm1$

    -       +       -
--------|--------|------->x
       -1       1

п.с. знаки проверяем, подставляя в производную значения, принадлежащие промежуткам


Ответ: функция возрастает на промежутке (-1;1)

Answer 2

Для того чтобы найти промежутки возрастания функции f(x) = x(3 - x^2), нам нужно определить, когда производная этой функции положительна.

Определение производной функции

Для начала вычислим производную функции f(x). Для этого применим правило производной произведения функций и правило производной степенной функции.

Правило производной произведения функций: Если у нас есть функции u(x) и v(x), то производная их произведения равна (u(x) * v'(x)) + (u'(x) * v(x)), где u'(x) и v'(x) - производные функций u(x) и v(x) соответственно.

Правило производной степенной функции: Если у нас есть функция f(x) = x^n, где n - константа, то производная этой функции равна f'(x) = n * x^(n-1).

Вычисление производной

Применяя эти правила к функции f(x) = x(3 - x^2), получим:

f'(x) = (x * (d(3 - x^2)/dx)) + ((d(x)/dx) * (3 - x^2)) = (x * (-2x)) + (1 * (3 - x^2)) = -2x^2 + 3 - x^2 = -3x^2 + 3

Определение промежутков возрастания

Теперь найдем, когда производная f'(x) положительна, чтобы определить промежутки возрастания функции f(x).

Для этого решим неравенство -3x^2 + 3 > 0.

-3x^2 + 3 > 0 -3x^2 > -3 x^2 < 1 -1 < x < 1

Таким образом, промежутки возрастания функции f(x) = x(3 - x^2) находятся в интервале (-1, 1). Это означает, что функция возрастает при значениях x в этом интервале.