Question

Найдите корни уравнения cosx=1/2 на промежутке (-п/2;0)

Answer 1

$cos x=\frac{1}{2}$
$x=^+_-arccso \frac{1}{2}+2*\pi*k$
$x=^+_-\frac{\pi}{3}+2*\pi*k$ k є Z

на указанном промежутке корни $-\frac{\pi}{3}$

Answer 2

Для решения уравнения cos(x) = 1/2 на промежутке (-π/2; 0), мы можем использовать геометрическую интерпретацию функции косинуса и знание основных значений косинуса на таком промежутке.

Геометрическая интерпретация

Уравнение cos(x) = 1/2 означает, что значение косинуса угла x равно 1/2. График функции косинуса представляет собой периодическую кривую, которая колеблется между значениями -1 и 1. Значение 1/2 находится между этими двумя значениями и соответствует двум определенным углам.

Основные значения косинуса

На промежутке (-π/2; 0) существуют два угла, при которых косинус равен 1/2. Эти углы могут быть найдены с использованием основных значений косинуса и его периодичности. Основные значения косинуса находятся в следующих точках:

- cos(0) = 1 - cos(π/6) = √3/2 - cos(π/4) = 1/√2 - cos(π/3) = 1/2 - cos(π/2) = 0

Так как мы ищем значения на промежутке (-π/2; 0), мы можем использовать основное значение косинуса при π/3, то есть cos(π/3) = 1/2.

Нахождение корней

Теперь мы можем найти углы x, при которых косинус равен 1/2, используя основное значение косинуса при π/3. На промежутке (-π/2; 0) существуют два таких угла: π/3 и -π/3.

Таким образом, корни уравнения cos(x) = 1/2 на промежутке (-π/2; 0) равны x = π/3 и x = -π/3.

Проверка решения

Мы можем проверить наше решение, подставив найденные значения корней обратно в исходное уравнение cos(x) = 1/2 и убедившись, что они удовлетворяют уравнению. Подставим x = π/3:

cos(π/3) = 1/2

cos(60°) = 1/2

√3/2 = 1/2

1/2 = 1/2

Уравнение выполняется. Аналогично, подставив x = -π/3:

cos(-π/3) = 1/2

cos(-60°) = 1/2

√3/2 = 1/2

1/2 = 1/2

И это также удовлетворяет уравнению.

Таким образом, мы проверили, что корни x = π/3 и x = -π/3 являются решениями уравнения cos(x) = 1/2 на промежутке (-π/2; 0).