Question

Монотонность функции y=-1/3x^3+7/2x^2-6x+2

Answer 1

Djjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjn

Answer 2

Функция y = -1/3x^3 + 7/2x^2 - 6x + 2 является кубической функцией. Чтобы определить ее монотонность, нужно исследовать знак ее производной.

Вычисление производной функции

Для вычисления производной функции y = -1/3x^3 + 7/2x^2 - 6x + 2, мы возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности, используя правила дифференцирования.

Производная слагаемого -1/3x^3 равна: d/dx (-1/3x^3) = -1/3 * 3x^2 = -x^2

Производная слагаемого 7/2x^2 равна: d/dx (7/2x^2) = 7/2 * 2x = 7x

Производная слагаемого -6x равна: d/dx (-6x) = -6

Производная свободного члена 2 равна 0, так как константа не содержит переменную x.

Теперь мы можем записать производную функции:

dy/dx = -x^2 + 7x - 6

Определение монотонности функции

Чтобы определить монотонность функции, мы исследуем знак производной в разных интервалах значений x.

1. Найдем точки, в которых производная равна нулю:

-x^2 + 7x - 6 = 0

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем использовать факторизацию или квадратное уравнение x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a). В данном случае, у нас есть a = -1, b = 7 и c = -6.

Используя квадратное уравнение, мы получаем два значения x:

x = (-7 ± sqrt(7^2 - 4(-1)(-6))) / (2(-1))

x = (-7 ± sqrt(49 - 24)) / (-2)

x = (-7 ± sqrt(25)) / (-2)

x = (-7 ± 5) / (-2)

x1 = (-7 + 5) / (-2) = -1

x2 = (-7 - 5) / (-2) = 6

Таким образом, точки, в которых производная равна нулю, это x = -1 и x = 6.

2. Проверим знак производной в интервалах между и после найденных точек.

a) Когда x < -1:

Подставим x = -2 в производную функции:

dy/dx = -(-2)^2 + 7(-2) - 6 = -4 - 14 - 6 = -24

Таким образом, в интервале x < -1 производная отрицательна.

b) Когда -1 < x < 6:

Подставим x = 0 в производную функции:

dy/dx = -(0)^2 + 7(0) - 6 = 0 - 0 - 6 = -6

Таким образом, в интервале -1 < x < 6 производная отрицательна.

c) Когда x > 6:

Подставим x = 7 в производную функции:

dy/dx = -(7)^2 + 7(7) - 6 = -49 + 49 - 6 = -6

Таким образом, в интервале x > 6 производная отрицательна.

Вывод

Исходя из знаков производной, мы можем сделать следующие выводы о монотонности функции y = -1/3x^3 + 7/2x^2 - 6x + 2:

- Функция убывает на интервале x < -1. - Функция убывает на интервале -1 < x < 6. - Функция убывает на интервале x > 6.

Таким образом, функция y = -1/3x^3 + 7/2x^2 - 6x + 2 является убывающей на всей числовой оси.