Question

Найдите точку максимума функции y=(x+1)^2(x+5)^2

Answer 1

Раскроем скобки
(x^2-10x+25)(x+1)-1=x^3-9x^2+15x+24
Произв =3х^2-18x+15 (=0)
x^2-6x+5=0
x=3+-2
x=5
x=1. Проверяем на возрастание и убывание функции ( +; -; +)
Точка х=1 точка максимума.

Answer 2

Для того чтобы найти точку максимума функции y = (x+1)^2(x+5)^2, мы должны найти экстремумы функции и проверить, являются ли они максимумами или минимумами.

Производная функции

Для начала, найдем производную функции y по переменной x. Для этого применим правило производной произведения функций (производная произведения равна произведению производных): y' = (2(x+1)(x+5)^2) + ((x+1)^2(2(x+5)))

Упрощение производной

Теперь упростим производную, чтобы найти точки, в которых она равна нулю: y' = 2(x+1)(x+5)^2 + 2(x+1)^2(x+5) y' = 2(x+5)[(x+1)(x+5) + (x+1)^2] y' = 2(x+5)(x+1)[(x+5) + (x+1)] y' = 2(x+5)(x+1)(2x+6)

Найти точки, где производная равна нулю

Теперь приравняем производную к нулю и найдем значения x, при которых это выполняется: 2(x+5)(x+1)(2x+6) = 0

Так как умножение двух чисел равно нулю, если хотя бы одно из них равно нулю, мы можем разделить это уравнение на 2(x+5)(x+1) и получить: (2x+6) = 0

Решая это уравнение, мы получаем: 2x = -6 x = -3

Вторая производная и проверка на максимум

Для того чтобы убедиться, что x = -3 является точкой максимума, мы должны найти вторую производную функции и проверить ее значение при x = -3. Если вторая производная положительна, то это будет точка максимума.

Найдем вторую производную

Для этого возьмем производную от y': y'' = 2(x+5)(2x+6) + 2(x+5)(2) y'' = 2(x+5)(2x+6 + 2) y'' = 2(x+5)(2x+8) y'' = 4(x+5)(x+4)

Проверим значение второй производной при x = -3

Подставим x = -3 в y'': y'' = 4(-3+5)(-3+4) y'' = 4(2)(1) y'' = 8

Так как вторая производная y'' равна положительному числу 8, мы можем заключить, что x = -3 является точкой максимума функции y = (x+1)^2(x+5)^2.

Найдем значение y при x = -3

Для того чтобы найти значение y при x = -3, мы подставим x = -3 в исходную функцию: y = (-3+1)^2(-3+5)^2 y = (2)^2(2)^2 y = 4 * 4 y = 16

Таким образом, точка максимума функции y = (x+1)^2(x+5)^2 находится в точке (-3, 16).