Question

Исследовать функцию y=x/√x^2-4 и построить её график

Answer 1

1) функция четная

2) x=0, y=-4 (это точки пересечение графика с осью ОУ)
y=0, x=-2;+2 (это точки пересечение графика с осью ОХ)

3) f(x)>0 при хЭ (минус бесконечности; -2) и (2; плюс бесконечнсти)
f(x)<0 при хЭ (-2;2)

4) y'=2*x (производная)
y'=0
2*x=0
x=0- точка экстремума.
f '(x)>0 при xЭ (0; плюс бесконечности)
f '(x)<0 при xЭ (минус бесконечности; 0)

5) Функция возрастает на [0; плюс бесконечности)
Функция убывает на (минус бесконечности; 0]

6) Хmin=0- точка минимума
f(Xmin)=-4
7) на графике рисуешь что-то похожее на параболу, с вершиной в точке (0;-4)
тоесть, у тя сначало функция убывает до этой точки, затем возрастает.
А точки, которые были найдены в пункте 2) это есть точки пересечения с осями, их тоже надо на графике обозначить.

Answer 2

Функция y = x/√(x^2 - 4) является рациональной функцией, которая имеет ограничения на область определения из-за наличия знаменателя под корнем.

Для начала исследуем область определения функции. Условие x^2 - 4 > 0 можно переписать как (x-2)(x+2) > 0. Из этого следует, что область определения функции -∞ < x < -2 и 2 < x < +∞.

Теперь найдем точки пересечения с осью абсцисс (x) и осью ординат (y). Для этого приравняем y к нулю и решим уравнение: x/√(x^2 - 4) = 0. Получаем, что y = 0 при x = 0.

Также исследуем функцию на наличие асимптот. Поскольку знаменатель функции имеет корень, то имеется вертикальная асимптота при x = 2 и x = -2. Горизонтальной асимптоты нет, так как степень числителя равна степени знаменателя.

Теперь построим график функции. Для этого выберем несколько значений x в области определения, вычислим соответствующие значения y и построим точки на координатной плоскости. Затем соединим точки гладкой кривой, чтобы получить график функции.

Таким образом, после проведения вышеуказанных шагов мы сможем построить график функции y = x/√(x^2 - 4) и изучить ее основные свойства.