Question

А) Решите уравнение 2*sin(x)*sin(5*Pi/2+2x)-4*cos^2(Pi+x)=sin(x)-3; б) Найдите корни, принадлежащие промежутку [3*Pi/2; 3*Pi]

Answer 1

Применены формулы приведения

Answer 2

Решение уравнения

Для решения данного уравнения, нам понадобится использовать свойства тригонометрии и алгебры. Начнем с пошагового решения уравнения.

1. Распишем уравнение: 2*sin(x)*sin(5*Pi/2+2x) - 4*cos^2(Pi+x) = sin(x) - 3

2. Приведем подобные слагаемые: 2*sin(x)*sin(5*Pi/2+2x) - sin(x) - 4*cos^2(Pi+x) = -3

3. Применим формулу двойного угла для синуса: 2*sin(x)*[sin(5*Pi/2)*cos(2x) + cos(5*Pi/2)*sin(2x)] - sin(x) - 4*cos^2(Pi+x) = -3

4. Упростим выражение: 2*sin(x)*[0*cos(2x) + (-1)*sin(2x)] - sin(x) - 4*cos^2(Pi+x) = -3

5. Умножим выражение 2*sin(x) на каждое слагаемое в квадратных скобках: -2*sin(x)*sin(2x) + 2*sin(x)*sin(5*Pi/2) - sin(x) - 4*cos^2(Pi+x) = -3

6. Заменим sin(5*Pi/2) на -1 и упростим: -2*sin(x)*sin(2x) - sin(x) + 2*sin(x) - 4*cos^2(Pi+x) = -3 -2*sin(x)*sin(2x) + sin(x) - 4*cos^2(Pi+x) = -3

7. Применим формулу двойного угла для синуса: -2*sin(x)*[2*sin(x)*cos(x)] + sin(x) - 4*cos^2(Pi+x) = -3

8. Упростим выражение: -4*sin^2(x)*cos(x) + sin(x) - 4*cos^2(Pi+x) = -3

9. Заменим cos^2(Pi+x) на sin^2(x) и упростим: -4*sin^2(x)*cos(x) + sin(x) - 4*sin^2(x) = -3

10. Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения: -4*sin^2(x)*cos(x) - 4*sin^2(x) + sin(x) + 3 = 0

11. Умножим уравнение на -1 для более удобного решения: 4*sin^2(x)*cos(x) + 4*sin^2(x) - sin(x) - 3 = 0

12. Заменим sin^2(x) на 1 - cos^2(x) и упростим: 4*(1 - cos^2(x))*cos(x) + 4*(1 - cos^2(x)) - sin(x) - 3 = 0

13. Раскроем скобки и упростим: 4*cos(x) - 4*cos^3(x) + 4 - 4*cos^2(x) - sin(x) - 3 = 0

14. Приведем подобные слагаемые: -4*cos^3(x) - 4*cos^2(x) + 4*cos(x) - sin(x) + 1 = 0

15. Перепишем уравнение в виде: -4*cos^3(x) - 4*cos^2(x) + 4*cos(x) - sin(x) + 1 = 0

Поиск корней в заданном промежутке

Теперь, когда у нас есть уравнение, мы можем найти его корни в заданном промежутке [3*Pi/2; 3*Pi].

Чтобы найти корни, мы можем использовать численные методы или графический метод. Давайте воспользуемся численным методом, таким как метод Ньютона.

```python import scipy.optimize as optimize import math

# Определяем функцию, для которой будем искать корни def equation(x): return -4*math.cos(x)3 - 4*math.cos(x)2 + 4*math.cos(x) - math.sin(x) + 1

# Используем метод Ньютона для поиска корней root = optimize.newton(equation, 4.5)

# Проверяем, принадлежит ли найденный