Question

Відомо, що х^2 + y^2 = 8, xy = 3. Чому дорівнює значення виразу x^4+x^2y^2 + y^4?

Answer 1

X² + y² = 8
xy = 3

Возведем в квадрат обе части первого равенства:
x⁴ + 2x²y² + y⁴ = 64
Искомое выражение:
x⁴ + x²y² + y⁴ = 64 - x²y²
x²y² = 3² = 9

x⁴ + x²y² + y⁴ = 64 - 9 = 55

Answer 2

Зауважте, що вираз, який ви наводите, x^4 + x^2y^2 + y^4, можна спростити, використовуючи дані рівняння x^2 + y^2 = 8 та xy = 3. Давайте розглянемо це детальніше.

Знаходження значення виразу x^4 + x^2y^2 + y^4

Ми можемо використовувати дані рівняння x^2 + y^2 = 8 та xy = 3 для знаходження значення виразу x^4 + x^2y^2 + y^4. Давайте розглянемо це крок за кроком.

1. Запишемо рівняння xy = 3 у вигляді y = 3/x. 2. Підставимо це значення y у рівняння x^2 + y^2 = 8: x^2 + (3/x)^2 = 8. 3. Розкриємо дужки та спростимо рівняння: x^2 + 9/x^2 = 8. 4. Помножимо обидві частини рівняння на x^2, щоб позбутися від знаменника: x^4 + 9 = 8x^2. 5. Перенесемо всі члени рівняння на одну сторону: x^4 - 8x^2 + 9 = 0. 6. Застосуємо заміну, де замість x^2 використовуємо змінну t: t^2 - 8t + 9 = 0. 7. Розв'яжемо це квадратне рівняння для t: (t - 1)(t - 9) = 0. Отримуємо два значення t: t = 1 та t = 9. 8. Повернемося до змінної x, використовуючи заміну x^2 = t: x^2 = 1 або x^2 = 9. Отримуємо два значення x: x = 1, x = -1, x = 3 та x = -3. 9. Підставимо ці значення x у рівняння xy = 3, щоб знайти відповідні значення y: При x = 1, y = 3/1 = 3. При x = -1, y = 3/-1 = -3. При x = 3, y = 3/3 = 1. При x = -3, y = 3/-3 = -1.

Таким чином, ми отримали чотири рішення для системи рівнянь x^2 + y^2 = 8 та xy = 3: (1, 3), (-1, -3), (3, 1) та (-3, -1). Тепер ми можемо обчислити значення виразу x^4 + x^2y^2 + y^4 для кожної пари значень (x, y).

1. Для (1, 3): x^4 + x^2y^2 + y^4 = 1^4 + 1^2(3)^2 + (3)^4 = 1 + 9 + 81 = 91. 2. Для (-1, -3): x^4 + x^2y^2 + y^4 = (-1)^4 + (-1)^2(-3)^2 + (-3)^4 = 1 + 9 + 81 = 91. 3. Для (3, 1): x^4 + x^2y^2 + y^4 = 3^4 + 3^2(1)^2 + (1)^4 = 81 + 9 + 1 = 91. 4. Для (-3, -1): x^4 + x^2y^2 + y^4 = (-3)^4 + (-3)^2(-1)^2 + (-1)^4 = 81 + 9 + 1 = 91.

Отже, незалежно від значень x та y, значення виразу x^4 + x^2y^2 + y^4 дорівнює 91 для всіх чотирьох рішень системи рівнянь x^2 + y^2 = 8 та xy = 3.