Question

a) найти одну из первообразных функций:6x^2-4x+3б) найти все первообразные функции:1/(3x-1)

Answer 1

а) 2x^3-2x^2+3x+20122013

б) 1/3*ln(3x-1) + C

Answer 2

a) Нахождение первообразной функции для 6x^2 - 4x + 3:

Для нахождения первообразной функции необходимо интегрировать данную функцию. В данном случае, мы будем искать первообразную от выражения 6x^2 - 4x + 3.

Интегрируем каждый член по отдельности, используя известные правила интегрирования:

∫(6x^2 - 4x + 3) dx = 2∫(3x^2 - 2x + 3) dx

Теперь проведем интегрирование каждого члена:

∫3x^2 dx = 3 * ∫x^2 dx = 3 * (x^3/3) = x^3 ∫(-2x) dx = -2 * ∫x dx = -2 * (x^2/2) = -x^2 ∫3 dx = 3x

Собираем все части вместе:

2∫(3x^2 - 2x + 3) dx = 2(x^3 - x^2 + 3x) + C

Где C - постоянная интеграции.

Таким образом, первообразная функция для 6x^2 - 4x + 3 равна:

F(x) = x^3 - x^2 + 3x + C

Где C - постоянная интеграции.

b) Нахождение всех первообразных функций для 1/(3x-1):

Для нахождения всех первообразных функций данной функции, мы можем использовать метод замены переменной или применить формулу интегрирования обратной функции. Давайте использовать метод замены переменной.

Проведем замену переменной: Пусть u = 3x - 1, тогда du = 3dx, откуда dx = du/3.

Теперь мы можем выразить исходный интеграл через переменную u: ∫(1/u) dx = ∫(1/u) * (du/3) = (1/3) * ∫(1/u) du

Интеграл ∫(1/u) du = ln|u| + C, где C - постоянная интеграции.

Теперь выразим u обратно через x: ln|u| + C = ln|3x - 1| + C

Таким образом, все первообразные функции для 1/(3x-1) выражаются как:

F(x) = (1/3) * ln|3x - 1| + C

Где C - постоянная интеграции, и ln|3x - 1| - единственное выражение для первообразной функции.