Question

Y'-ycosx=0; если Y(0)=1

Answer 1

Dy/dx = y*cosx
dy/y = cos x dx
интегрируем обе части
Sdy/y = S cos x dx
ln y = sinx + C
y = e^(sinx + C) = Ce^(sin x)
y(0) = Ce^(0) = C
т.к. y(0)=1, то С=1
Ответ y(x)= e^(sin x) 

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение Y' - Ycos(x) = 0 с начальным условием Y(0) = 1. Давайте найдем его решение.

Решение дифференциального уравнения

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных. Для этого давайте разделим переменные, переместив все члены, содержащие Y на одну сторону уравнения:

Y' = Ycos(x)

Теперь разделим обе части уравнения на Y и обе части на cos(x):

Y' / Y = cos(x)

Далее, возьмем интеграл от обеих частей уравнения по переменной x:

∫ (Y' / Y) dx = ∫ cos(x) dx

Интегрируя обе части уравнения, получим:

ln|Y| = sin(x) + C

где C - постоянная интегрирования.

Нахождение постоянной C

Чтобы найти постоянную C, воспользуемся начальным условием Y(0) = 1. Подставим x = 0 и Y = 1 в уравнение:

ln|1| = sin(0) + C 0 = 0 + C C = 0

Таким образом, мы получаем C = 0.

Окончательное решение

Подставим найденное значение C в уравнение:

ln|Y| = sin(x)

Теперь возьмем экспоненту от обеих частей уравнения:

|Y| = e^(sin(x))

Так как экспонента всегда положительна, то мы можем убрать модуль:

Y = ±e^(sin(x))

Таким образом, окончательное решение данного дифференциального уравнения с начальным условием Y(0) = 1:

Y(x) = e^(sin(x))

Или в альтернативной форме:

Y(x) = -e^(sin(x))

Обратите внимание, что данное решение является общим решением дифференциального уравнения.