Question

2-3 sin(3п/2+x)+cos^2x/2=sin^2(x/2) Решите уравнение

Answer 1

$2-3\sin( \frac{3 \pi }{2} +x)+\cos^2 \frac{x}{2} =\sin^2 \frac{x}{2} \\ 2+3\sin x+ \frac{1+\cos x}{2} = \frac{1-\cos x}{2} |\cdot 2 \\ 4+6\sin x+1+\cos x=1-\cos x \\ 4+6\sin x+2\cos x=0 \\ 6\sin x+2\cos x=-4|:2 \\ 3\sin x+\cos x=-2$
Синус и Косинус принимают свои значения $|\cos x| \leq 1$, значит имеем:
$\left[\begin{array}{ccc}\sin x=-1\\\cos x=1\end{array}\right\to \left[\begin{array}{ccc}x_1=- \frac{\pi}{2} +2 \pi k,k \in Z\\ x_2=2 \pi n,n \in Z\end{array}\right$

Answer 2

Для начала преобразуем уравнение:

2-3sin(3п/2 + x) + cos^2(x)/2 = sin^2(x/2)

Перенесем все члены в одну часть уравнения:

3sin(3п/2 + x) - cos^2(x)/2 - sin^2(x/2) + 2 = 0

Затем воспользуемся тригонометрическими тождествами:

sin(3п/2 + x) = -sin(x) cos^2(x) = 1 - sin^2(x) sin^2(x/2) = (1 - cos(x))/2

Подставим эти значения в уравнение:

3(-sin(x)) - (1 - sin^2(x))/2 - (1 - cos(x))/2 + 2 = 0

Упростим уравнение:

-3sin(x) - 1 + sin^2(x)/2 - 1 + cos(x)/2 + 2 = 0 sin^2(x)/2 - 3sin(x) + cos(x)/2 = 0

Теперь давайте решим уравнение. Для этого представим его в виде квадратного уравнения относительно sin(x):

(sin(x))^2 - 6sin(x) + cos(x) = 0

Теперь можно использовать квадратное уравнение для нахождения sin(x):

D = b^2 - 4ac D = (-6)^2 - 4*1*cos(x)

sin(x) = (-b ± √D) / 2a sin(x) = (6 ± √(36 - 4cos(x))) / 2

Таким образом, мы нашли sin(x). Теперь можем подставить найденное значение sin(x) в исходное уравнение и решить его.