Question

в прямоугольном треугольнике а и в-длины катетов, с-длина гипотенузы. докажите, что радиус окружности, вписанной в этот треугольник равен (а+в-с)/2

Answer 1

радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, будут _|_ сторонам треугольника,

два радиуса, проведенные к катетам, вырезают из треугольника квадрат со стороной, равной радиусу (r),

оставшиеся части катетов равны, соответственно, a-r и b-r

центр вписанной окружности ---это точка пересечения биссектрис треугольника, 

часть биссектрисы, соединяющая центр вписанной окружности и вершину треугольника будет общей гипотенузой двух равных прямоугольных треугольников с катетом = r

если рассмотреть две пары таких равных прямоугольных треугольников, то можно заметить, что c = (a-r) + (b-r)

отсюда c = a + b - 2r

2r = a+b-c

r = (a+b-c)/2

 

Answer 2

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 90 градусам, а другие два угла являются острыми. Катеты - это две стороны, которые образуют прямой угол, а гипотенуза - это сторона, противолежащая прямому углу.

Теперь давайте рассмотрим вписанную окружность в прямоугольный треугольник. Вписанная окружность касается всех трех сторон треугольника. Пусть радиус этой окружности равен r.

Для доказательства того, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен (a + b - c)/2, где a и b - длины катетов, а c - длина гипотенузы, мы воспользуемся следующими свойствами окружности и треугольника:

1. Свойство касательной: Касательная, проведенная из точки касания окружности с треугольником, перпендикулярна радиусу в этой точке.

2. Полупериметр треугольника: Полупериметр треугольника равен сумме длин всех его сторон, деленной на 2.

Теперь рассмотрим треугольник и его вписанную окружность подробнее. Пусть точка касания окружности с катетом a будет A, с катетом b - B, а с гипотенузой c - C. Также пусть точка центра окружности будет O.

Шаг 1: Докажем, что OA = OB = r

Так как точка A - точка касания окружности с катетом a, то отрезок OA является радиусом окружности. Аналогично, отрезок OB является радиусом окружности. Таким образом, OA = OB = r.

Шаг 2: Докажем, что OC = r + r = 2r

Так как точка C - точка касания окружности с гипотенузой c, то отрезок OC является радиусом окружности. ТакДля начала, рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где AB = a, BC = b, AC = c, а также вписанную в него окружность с центром I и радиусом r. Для того чтобы доказать, что радиус вписанной окружности равен (a + b - c)/2, мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника, выразив ее двумя способами.

Формула для площади треугольника через радиус вписанной окружности

Используя формулу для площади треугольника через радиус вписанной окружности, мы можем записать: \[S = r * p\] где S - площадь треугольника, r - радиус вписанной окружности, p - полупериметр треугольника.

Формула для площади треугольника через длины сторон

Также, площадь треугольника можно выразить через длины его сторон, используя формулу Герона: \[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\] где p - полупериметр треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника.

Равенство двух выражений для площади треугольника

Поскольку оба выражения равны площади треугольника, мы можем приравнять их друг к другу: \[r * p = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

Выражение для полупериметра через длины сторон

Полупериметр p выражается через длины сторон треугольника следующим образом: \[p = \frac{a + b + c}{2}\]

Подстановка выражения для полупериметра

Подставляя это выражение для p в уравнение, получим: \[r * \frac{a + b + c}{2} = \sqrt{\frac{a + b + c}{2}(\frac{a + b + c}{2}-a)(\frac{a + b + c}{2}-b)(\frac{a + b + c}{2}-c)}\]

Раскрытие скобок и упрощение

После раскрытия скобок и упрощения выражений, получим: \[r * (a + b + c) = 2 * \sqrt{\frac{a + b + c}{2}(\frac{a + b + c}{2}-a)(\frac{a + b + c}{2}-b)(\frac{a + b + c}{2}-c)}\]

Выражение для площади через полупериметр

Также, площадь треугольника через полупериметр можно выразить как: \[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{\frac{a + b + c}{2}(\frac{a + b + c}{2}-a)(\frac{a + b + c}{2}-b)(\frac{a + b + c}{2}-c)}\]

Заключение

Таким образом, мы можем увидеть, что радиус вписанной окружности равен (a + b - c)/2, что и требовалось доказать.