Question

Составьте уравнение той касательной к графику функции y=ln3x, которая проходит через начало координат

Answer 1

Составьте уравнение той касательной к графику функции y=ln3x, которая проходит через начало координат

Заметим, что данная функция не проходит через начало координат, а значит точка О(0;0) не является точкой касания. 

Пусть точка касания А(а;в)

составим уравнение касательной в точке А

$\dispaystyle y_{kac}=y(x_0)+y`(x_0)*(x-x_0)$

где y(x0)=в. x0=a

$\dispaystyle y`(x)=(ln3x)`= \frac{1}{3x}*3= \frac{1}{x}$

тогда уравнение касательной будет выглядеть так: 
$\dispaystyle y_{kac}=b+ \frac{1}{a}(x-a)$

и эта прямая проходит через точку О(0;0)
подставим эти координаты

$\dispaystyle 0=b+ \frac{1}{a}(0-a)=b-1\\b=1$

тогда уравнение касательной примет вид

$\dispaystyle y_{kac}=1+ \frac{1}{a}(x-a)=1+ \frac{x}{a}-1= \frac{x}{a}$

Так как касательная у нас проведена к нашей функции то у них есть общая точка пересечения

$\dispaystyle \frac{x}{a}=ln3x$

т.к. в=1, то а=е/3 (ln3x=1: 3x=e; x=e/3)

тогда

$\dispaystyle \frac{e}{3a}=ln(3* \frac{e}{3})\\ \frac{e}{3a}=1\\a= \frac{e}{3}$

 и тогда точка касания А(е/3;1)
уравнение касательной 
$\dispaystyle y=\frac{x}{e/3}= \frac{3x}{e}$

Answer 2

Уравнение касательной к графику функции y=ln(3x), проходящей через начало координат

Для составления уравнения касательной к графику функции y=ln(3x), которая проходит через начало координат, мы можем использовать следующий подход:

1. Найдем производную функции y=ln(3x) по переменной x. 2. Подставим значение x=0 в полученную производную, чтобы найти значение производной в точке x=0. 3. Используем найденное значение производной и точку (0,0) для составления уравнения касательной в форме y=mx+b, где m - наклон касательной, а b - точка пересечения с осью y.

Давайте выполним эти шаги:

Шаг 1: Найдем производную функции y=ln(3x). Используя правило дифференцирования для функции ln(u), где u=3x, получим: dy/dx = (1/u) * du/dx

Заменим u на 3x: dy/dx = (1/(3x)) * d(3x)/dx

Упростим выражение: dy/dx = 1/x

Шаг 2: Найдем значение производной в точке x=0. Подставим x=0 в выражение для производной: dy/dx = 1/0

Заметим, что производная в точке x=0 не определена.

Шаг 3: Составим уравнение касательной с использованием найденной производной и точки (0,0). Так как значение производной в точке x=0 не определено, мы не можем использовать обычную формулу y=mx+b для уравнения касательной. Вместо этого, мы можем использовать уравнение вида x=a, где a - константа.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y=ln(3x), проходящей через начало координат, будет иметь вид x=0.

Ответ: Уравнение касательной к графику функции y=ln(3x), которая проходит через начало координат, имеет вид x=0.

Пожалуйста, дайте мне знать, если у вас есть еще вопросы!