Question

Исследуйте последовательность Xn=(3n-1)/n на ограниченность и монотонность

Answer 1

Xn = (3n-1)/n =  3 -1/n

Всё!

1. Так как 1/(n+1) < 1/n, последовательность монотонно ВОЗРАСТАЮЩАЯ. (от 3 отнимается всё меньшее число).

2. Последовательность ограничена сверху, верхняя граница=3 (1/n > 0). 

Answer 2

Для исследования последовательности Xn=(3n-1)/n на ограниченность и монотонность, давайте сначала выразим Xn как функцию от n:

Xn = (3n-1)/n

Теперь мы можем проанализировать ограниченность и монотонность этой последовательности.

1. Ограниченность: Для исследования ограниченности последовательности, давайте найдем ее предел при n стремящемся к бесконечности:

lim (n→∞) (3n-1)/n = lim (n→∞) (3-1/n) = 3

Это означает, что последовательность ограничена сверху числом 3. Таким образом, последовательность Xn ограничена.

2. Монотонность: Для исследования монотонности последовательности, давайте посмотрим на ее разность соседних членов:

X(n+1) - Xn = ((3(n+1)-1)/(n+1)) - ((3n-1)/n) = (3n+3-1)/(n+1) - (3n-1)/n = (3n+2)/(n+1) - (3n-1)/n = (3n^2 + 2n - n^2 - n)/(n(n+1)) = (2n^2 + n)/(n(n+1)) = (2n(n+1))/(n(n+1)) = 2

Таким образом, разность соседних членов постоянна и равна 2. Это означает, что последовательность Xn монотонна.

Итак, исследовав последовательность Xn=(3n-1)/n, мы пришли к выводу, что она ограничена сверху числом 3 и является монотонно возрастающей.