Question

sin^2x*cos^2y-cos^2x*sin^2y

Answer 1

Формулы двойного угла и св-ва

Answer 2

Разложи как синус двойного аргумента по форуле

Answer 3

Для начала, давайте разложим выражение sin^2x*cos^2y - cos^2x*sin^2y с использованием формулы двойного угла для синуса и косинуса.

Формула для синуса двойного угла: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

Формула для косинуса двойного угла: cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ)

Применяя эти формулы к выражению sin^2x*cos^2y - cos^2x*sin^2y, мы можем раскрыть его следующим образом:

sin^2x*cos^2y - cos^2x*sin^2y = (sin(x)*cos(x))^2*cos^2y - cos^2x*(sin(y)*cos(y))^2 = (1/2*sin(2x))^2*cos^2y - cos^2x*(1/2*sin(2y))^2 = (1/4*sin^2(2x))*cos^2y - cos^2x*(1/4*sin^2(2y))

Теперь мы можем использовать формулу разности косинусов для преобразования этого выражения:

cos(θ1 - θ2) = cos θ1 * cos θ2 + sin θ1 * sin θ2

Применим эту формулу к нашему выражению:

(1/4*sin^2(2x))*cos^2y - cos^2x*(1/4*sin^2(2y)) = (1/4)*(cos(2y)*cos(2x) + sin(2y)*sin(2x))*cos^2y - cos^2x*(1/4)*(cos(2x)*cos(2y) + sin(2x)*sin(2y)) = (1/4)*cos(2y)*cos(2x)*cos^2y + (1/4)*sin(2y)*sin(2x)*cos^2y - (1/4)*cos^2x*cos(2x)*cos(2y) - (1/4)*cos^2x*sin(2x)*sin(2y)

Теперь мы можем применить формулы для произведения тригонометрических функций:

cos(α) * cos(β) = (1/2)*(cos(α + β) + cos(α - β)) sin(α) * sin(β) = (1/2)*(cos(α - β) - cos(α + β))

Применим эти формулы к нашему выражению:

(1/4)*cos(2y)*cos(2x)*cos^2y + (1/4)*sin(2y)*sin(2x)*cos^2y - (1/4)*cos^2x*cos(2x)*cos(2y) - (1/4)*cos^2x*sin(2x)*sin(2y) = (1/4)*((1/2)*(cos(2y + 2x) + cos(2y - 2x)))*cos^2y + (1/4)*((1/2)*(cos(2y - 2x) - cos(2y + 2x)))*cos^2y - (1/4)*cos^2x*((1/2)*(cos(2x + 2y) + cos(2x - 2y))) - (1/4)*cos^2x*((1/2)*(cos(2x - 2y) - cos(2x + 2y))) = (1/8)*(cos(2y + 2x) + cos(2y - 2x))*cos^2y + (1/8)*(cos(2y - 2x) - cos(2y + 2x))*cos^2y - (1/8)*cos^2x*(cos(2x + 2y) + cos(2x - 2y)) - (1/8)*cos^2x*(cos(2x - 2y) - cos(2x + 2y))

Теперь мы можем сгруппировать подобные слагаемые:

(1/8)*(cos(2y + 2x) + cos(2y - 2x))*cos^2y + (1/8)*(cos(2y - 2x) - cos(2y + 2x))*cos^2y - (1/8)*cos^2x*(cos(2x + 2y) + cos(2x - 2y)) - (1/8)*cos^2x*(cos(2x - 2y) - cos(2x + 2y)) = (1/8)*(2*cos(2y - 2x))*cos^2y - (1/8)*cos^2x*(2*cos(2x + 2y)) = (1/4)*cos(2y - 2x)*cos^2y - (1/4)*cos^2x*cos(2x + 2y)

Итак, мы получили окончательное выражение для sin^2x*cos^2y - cos^2x*sin^2y:

(1/4)*cos(2y - 2x)*cos^2y - (1/4)*cos^2x*cos(2x + 2y)

Это подробное разложение и упрощение данного выражения. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!