Question

Найдите все значения a,для каждого из которых неравенство ax^2-4x+3a+1>0 выполняется для всех x

Answer 1

Смотреть во вложении

Answer 2

Для того чтобы неравенство выполнялось для всех x, дискриминант квадратного трехчлена должен быть меньше нуля, а коэффициент при x^2 должен быть положительным.

Дискриминант квадратного трехчлена D = (-4)^2 - 4*a*(3a+1) = 16 - 12a^2 - 4a

Для того чтобы неравенство выполнялось для всех x, дискриминант должен быть меньше нуля:

16 - 12a^2 - 4a < 0 12a^2 + 4a - 16 > 0 3a^2 + a - 4 > 0

Теперь найдем все значения a, для которых это неравенство выполняется. Мы можем решить это неравенство с помощью графика или метода интервалов.

Факторизуем неравенство:

(3a - 4)(a + 1) > 0

Находим корни уравнения 3a - 4 = 0 и a + 1 = 0:

3a - 4 = 0 3a = 4 a = 4/3

a + 1 = 0 a = -1

Теперь построим интервалы числовой прямой, используя найденные корни:

---(-1)---(-4/3)---(-1)---(4/3)---(+∞)---

Выбираем по одному значению из каждого интервала и подставляем в неравенство, чтобы определить знак выражения в каждом интервале:

Для a < -1: (-)(-) > 0 (неверно) Для -1 < a < 4/3: (+)(-) > 0 (верно) Для a > 4/3: (+)(+) > 0 (верно)

Таким образом, все значения a, для которых неравенство ax^2 - 4x + 3a + 1 > 0 выполняется для всех x, это -1 < a < 4/3.