Question

Решите неравенство (x-4)^2\(x+2)(x-9)>=0

Answer 1

Решение смотри на фотографии

Answer 2

Для решения неравенства \((x-4)^2/(x+2)(x-9) \geq 0\) мы можем использовать метод интервалов или метод знаков. Основная идея состоит в том, чтобы определить интервалы, на которых неравенство выполняется.

Найдем точки разрыва

Начнем с поиска точек разрыва функции. Точки разрыва возникают, когда знаменатель становится равным нулю, поэтому мы должны найти корни уравнений \(x+2=0\) и \(x-9=0\).

\(x+2=0\) дает \(x=-2\)

\(x-9=0\) дает \(x=9\)

Таким образом, у нас есть две точки разрыва: \(x=-2\) и \(x=9\).

Определение знаков

Теперь для каждого интервала между точками разрыва мы можем определить знак выражения \((x-4)^2/(x+2)(x-9)\) с помощью тестовых точек в этих интервалах.

Интервалы и знаки

1. Для \(x<-2\): возьмем \(x=-3\), тогда \((x-4)^2<0\), \(x+2<0\), \(x-9<0\) (все знаки отрицательные), значит, выражение \((x-4)^2/(x+2)(x-9)\) положительное. 2. Для \(-20\), \(x+2>0\), \(x-9<0\) (знаки +, +, -), значит, выражение \((x-4)^2/(x+2)(x-9)\) отрицательное. 3. Для \(40\), \(x+2>0\), \(x-9<0\) (знаки +, +, -), значит, выражение \((x-4)^2/(x+2)(x-9)\) положительное. 4. Для \(x>9\): возьмем \(x=10\), тогда \((x-4)^2>0\), \(x+2>0\), \(x-9>0\) (знаки +, +, +), значит, выражение \((x-4)^2/(x+2)(x-9)\) положительное.

Результат

Итак, мы получили, что неравенство \((x-4)^2/(x+2)(x-9) \geq 0\) выполняется на интервалах \((-\infty, -2)\) и \((4, 9]\). Таким образом, решение данного неравенства можно записать в виде:

\[x \in (-\infty, -2) \cup (4, 9]\]