Question

Решите уравнение, используя введение новой переменной: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=5040

Answer 1

Нам в школе давали подобные примеры и говорили:
Группировать лучше так, чтобы выходили одинаковые начала в квадратном уравнении. Поясняю:
Сгруппировать 
(x+1)(x+4)(x+2)(x+3) намного приятней. Сейчас покажу, почему:

(x+1)(x+4)(x+2)(x+3) = 5040
Раскрываем скобки: (не забывай, мы раскрываем две скобки, а не все сразу, мало ли, у меня такое было на практике)
($x^{2}$+5x+4)($x^{2}$+5x+6)=5040

Видим здесь одинаковое выражение: $x^{2}$+5x

Замена:
$x^{2}$+5x = t

(t+4)(t+6)=5040
Раскрываем скобки. 
$t^{2}$+ 10t + 24 = 5040
Решаем как обычное квадратное уравнение, только в корнях вместо x будет t.
D = 20164 = √20164 = 142
t1 = 66, t2 = -76

Теперь вернёмся к нашей замене. Выйдет система:
1) $x^{2}$+5x = 66
2) $x^{2}$+5x = -76

1. Не буду решать, это обычный дискриминант. Напишу ответ:
x1 = -11, x2 = 6
2. Дискриминант меньше нуля. Нам в школе говорили, что если дискриминант меньше нуля, то есть два корня: мы вводили мнимую единицу. Но в школе без углубления при условии, что дискриминант меньше нуля - корней нет.

Ответ: x1 = -11, x2 = 6