Question

Помогите пожалуйста с решением: 3 sin^2x-cosx+1=0

Answer 1

3 sin^2x-cosx+1=0

по формуле sin^2(x) + cos^2(x) = 1

3 sin^2(x) = 3 - 3 cos^2(x)

3 - 3cos^2(x) - cos(x)+1=0

3cos^2(x) + cos(x) - 4 = 0

Дальше можно через дескриминант или по теореме Виетта

Я пойду первым способом

Заменим cos(x)=t

3t + t - 4=0

$t=\frac{1+-\sqrt{1+48}}{6}=\frac{1+-7}{6}$

=> t=4/3 и t=1

=> cos(x) = 4/3 - что не возможно и cos(x)=1

=> x=0

Вроде бы так)

Удачи)

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить уравнение \(3\sin^2x - \cos x + 1 = 0\).

Давайте рассмотрим его по частям:

\[3\sin^2x - \cos x + 1 = 0.\]

Для удобства, давайте представим \(\sin^2x\) в виде \(1 - \cos^2x\):

\[3(1 - \cos^2x) - \cos x + 1 = 0.\]

Раскроем скобки:

\[3 - 3\cos^2x - \cos x + 1 = 0.\]

Теперь сгруппируем подобные члены:

\[-3\cos^2x - \cos x + 4 = 0.\]

Далее, мы имеем квадратное уравнение относительно \(\cos x\):

\[-3\cos^2x - \cos x + 4 = 0.\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой для корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

В нашем случае \(a = -3\), \(b = -1\), и \(c = 4\). Подставим значения:

\[\cos x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(-3)(4)}}{2(-3)}.\]

Упростим выражение:

\[\cos x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{-6}.\]

\[\cos x = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{-6}.\]

Теперь два случая:

1. \(\cos x = \frac{1 + 7}{-6} = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3}\) - недопустимое значение, так как косинус не может быть больше по модулю единицы.

2. \(\cos x = \frac{1 - 7}{-6} = \frac{-6}{-6} = 1.\)

Таким образом, у нас есть одно допустимое решение: \(\cos x = 1\). Зная, что \(\cos x = 1\), мы можем сказать, что угол \(x\) равен \(0\):

\[x = 0.\]

Итак, уравнение \(3\sin^2x - \cos x + 1 = 0\) имеет единственное решение \(x = 0\).