Question

Найти производную y= (lnx)^3x

Answer 1

9x^2 lnx+(3x^3)/x-3x^2=9x^2 lnx+3x^2-3x^2=9x^2 lnx

Answer 2

Чтобы найти производную функции \( y = (\ln{x})^3 \cdot x \), используем правило производной произведения и цепного правила.

1. Производная по \( x \) от \((\ln{x})^3\):

Пусть \( u = \ln{x} \). Тогда \( y_1 = u^3 \). Применим цепное правило:

\[ \frac{dy_1}{dx} = \frac{dy_1}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]

\[ \frac{dy_1}{du} = 3u^2 \]

\[ \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \]

Теперь подставим:

\[ \frac{dy_1}{dx} = 3(\ln{x})^2 \cdot \frac{1}{x} \]

2. Производная по \( x \) от \( x \):

Просто \( \frac{dy_2}{dx} = 1 \).

3. Теперь используем правило производной произведения:

\[ \frac{d}{dx}(y_1 \cdot y_2) = y_1' \cdot y_2 + y_1 \cdot y_2' \]

Где \( y_1' \) - производная по \( x \) от \( (\ln{x})^3 \), а \( y_2' \) - производная по \( x \) от \( x \).

Подставим значения:

\[ \frac{d}{dx}\left((\ln{x})^3 \cdot x\right) = 3(\ln{x})^2 \cdot \frac{1}{x} \cdot x + (\ln{x})^3 \cdot 1 \]

Упростим:

\[ \frac{d}{dx}\left((\ln{x})^3 \cdot x\right) = 3(\ln{x})^2 + (\ln{x})^3 \]

Таким образом, производная функции \( y = (\ln{x})^3 \cdot x \) равна \( 3(\ln{x})^2 + (\ln{x})^3 \).