Question

Найти дифференциал первого порядка y=(x^2-2)^4

Answer 1

$y=(x^2-2)^4\\\\dy=y'\cdot dx=4(x^2-2)^3\cdot 2x\cdot dx=8x(x^2-2)^3\cdot dx$

Answer 2

Чтобы найти дифференциал первого порядка функции \( y = (x^2 - 2)^4 \), нужно воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции (chain rule).

Функция \( y \) представлена как композиция двух функций: внешней функции \( u = v^4 \) и внутренней функции \( v = x^2 - 2 \). Таким образом, можно записать:

\[ y = u(v(x)) = (x^2 - 2)^4 \]

Теперь воспользуемся chain rule:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} \]

1. Найдем \(\frac{du}{dv}\): \[ \frac{du}{dv} = 4v^3 \]

2. Найдем \(\frac{dv}{dx}\): \[ \frac{dv}{dx} = 2x \]

Теперь подставим эти значения в формулу chain rule:

\[ \frac{dy}{dx} = 4v^3 \cdot 2x \]

Используем исходное значение \( v = x^2 - 2 \):

\[ \frac{dy}{dx} = 4(x^2 - 2)^3 \cdot 2x \]

Таким образом, дифференциал первого порядка функции \( y = (x^2 - 2)^4 \) равен:

\[ \frac{dy}{dx} = 8x(x^2 - 2)^3 \]