Question

Доказать: a^2+b^2> 2|ab|

Answer 1

a^2+b^2> 2|ab|
(!a!-!b!)²>=0
только больше рано 0 при a=b=0
а так квадрат всегда больше = 0

Answer 2

Для начала, давайте рассмотрим несколько случаев.

1. Пусть а и b оба положительные. В этом случае, |ab|=ab, и мы можем переписать неравенство как a^2+b^2>2ab. Разложим левую часть на два слагаемых: (a-b)^2>0. Так как a и b положительные, то a-b тоже положительное число. Отрицательное число в квадрате всегда будет положительным числом, поэтому (a-b)^2>0 всегда верно. Таким образом, неравенство a^2+b^2>2ab доказано для положительных а и b.

2. Пусть а и b оба отрицательные. В этом случае, |ab|=ab, и мы можем переписать неравенство как a^2+b^2>2ab. Разложим левую часть на два слагаемых: (a-b)^2>0. Так как a и b отрицательные, то a-b тоже отрицательное число. Отрицательное число в квадрате всегда будет положительным числом, поэтому (a-b)^2>0 всегда верно. Таким образом, неравенство a^2+b^2>2ab доказано для отрицательных а и b.

3. Пусть а положительное, а b отрицательное. В этом случае, |ab|=-ab, и мы можем переписать неравенство как a^2+b^2>2(-ab), что эквивалентно a^2+b^2>-2ab. Разложим левую часть на два слагаемых: (a+b)^2>0. Так как a положительное, а b отрицательное, то a+b может быть положительным числом или нулем. В обоих случаях, (a+b)^2>0 всегда верно. Таким образом, неравенство a^2+b^2>2|ab| доказано для положительного а и отрицательного b.

Из этих рассуждений следует, что неравенство a^2+b^2>2|ab| выполняется для всех взаимных положительных и отрицательных значений a и b.