Question

.Пусть x1 и x2 - корни квадратного уравнения x^2 - 7x - 1 = 0 Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 5x1 и 5x2

Answer 1

По обратной теореме Виета:
x1 + x2 = 7
x1•x2 = -1
При условии, что x12 = 5x1 и x22 = 5x2 получаем:
5x1 + 5x2 = 7•5 = 35
5x1•5x2 = - 5•5 = -25
Значит, уравнение принимает вид
x² - 35x - 25 = 0.

Answer 2

Для того, чтобы составить квадратное уравнение по его корням, можно использовать теорему Виета, которая связывает коэффициенты уравнения с суммой и произведением его корней. По теореме Виета, если x₁ и x₂ - корни квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0, то:

x₁ + x₂ = -b/a x₁x₂ = c/a

В данном случае, x₁ и x₂ - корни уравнения x² - 7x - 1 = 0, поэтому:

x₁ + x₂ = 7 x₁x₂ = -1

Тогда, если 5x₁ и 5x₂ - корни нового квадратного уравнения, то по теореме Виета:

5x₁ + 5x₂ = -b/a 5x₁x₂ = c/a

Умножая первое уравнение на 5 и второе на 25, получаем:

25x₁ + 25x₂ = -5b/a 125x₁x₂ = 25c/a

Подставляя значения x₁ + x₂ и x₁x₂ из исходного уравнения, получаем:

25(7) = -5b/a 125(-1) = 25c/a

Упрощая, получаем:

b = -35a c = -5a

Тогда, новое квадратное уравнение имеет вид:

ax² - 35ax - 5a = 0

Если нужно, можно вынести общий множитель a из всех членов уравнения:

a(x² - 35x - 5) = 0

Это ответ. Новое квадратное уравнение, корнями которого являются числа 5x₁ и 5x₂, имеет вид:

a(x² - 35x - 5) = 0

или

ax² - 35ax - 5a = 0

где a - любое ненулевое число.