Question

Решите уравнение: 3sin^2x -3sinx cosx-4cos^2x= -2

Answer 1

$3sin^{2}x-3sinx*cosx-4cos^{2}x=-2$
$3sin^{2}x-3sinx*cosx-4cos^{2}x+2sin^{2}x+2cos^{2}x=0$ - перенесли (-2) влево и заменили по основному тригонометрическому тождеству.

$5sin^{2}x-3sinx*cosx-2cos^{2}x=0$ - теперь разделим обе части на квадрат косинуса
$5tg^{2}x-3tgx-2=0$ - получили квадратное уравнение относительно котангенса.

Замена: $tgx=t$
$5t^{2}-3t-2=0, D=9+4*2*5=49$
$t_{1}= \frac{3+7}{10} =1$
$t_{2}= \frac{3-7}{10}=-\frac{2}{5}=-0.4$

Вернемся к замене:
1) $tgx=1$
$x= \frac{ \pi }{4}+ \pi k$, k∈Z
2) $tgx=-0.4$
$x=-arctg(0.4)+ \pi k$, k∈Z

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение:

\[3\sin^2x - 3\sin x + \cos x - 4\cos^2x = -2\]

Сначала приведем уравнение к квадратному виду относительно одной из тригонометрических функций. Обычно мы выбираем более часто встречающуюся функцию, чтобы упростить выражение. В данном случае мы видим, что в уравнении присутствует как синус, так и косинус, но косинус встречается чаще. Так что давайте перепишем уравнение, используя тождество \(\sin^2x + \cos^2x = 1\):

\[3(1 - \cos^2x) - 3\sin x + \cos x - 4\cos^2x = -2\]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[3 - 3\cos^2x - 3\sin x + \cos x - 4\cos^2x = -2\]

Сгруппируем все члены, содержащие \(\cos x\):

\[-7\cos^2x - 3\sin x + \cos x = -5\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\cos x\):

\[7\cos^2x - 4\cos x + 3 = 0\]

Чтобы решить это уравнение, мы можем воспользоваться квадратным уравнением:

\[\cos x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где \(a = 7\), \(b = -4\), и \(c = 3\).

Подставим значения:

\[\cos x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(7)(3)}}{2(7)}\]

\[\cos x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 84}}{14}\]

\[\cos x = \frac{4 \pm \sqrt{-68}}{14}\]

Так как у нас под корнем отрицательное число, у уравнения нет действительных корней. Следовательно, это уравнение не имеет решений в действительных числах.

Таким образом, исходное тригонометрическое уравнение \[3\sin^2x - 3\sin x + \cos x - 4\cos^2x = -2\] не имеет действительных решений.