Question

решить уравнение:log5(3x-11)+log5(x-27)=3+log58 все 5 находятся внизу которые возле логаритма

Answer 1

О.Д.З: 3x-11>0

           x-27>0 => x>27

Применяем свойства логарифмов (log₅(3x-11)+log₅(x-27)=log₅(3x-11)(x-27)),

3 = log₅5³

$log_5(3x-11)(x-27) = log_5{1000}$

3x² - 92x - 703 = 0

√D = 130

x₁= (130 - 70)/6 = 10 - не подходит по О.Д.З

x₂ = 100/3

Ответ: x = 100/3

Answer 2

Давайте решим уравнение:

\[ \log_5(3x - 11) + \log_5(x - 27) = 3 + \log_5 8 \]

Для упрощения, воспользуемся свойствами логарифмов. Сначала объединим логарифмы суммой:

\[ \log_5((3x - 11)(x - 27)) = 3 + \log_5 8 \]

Теперь применим свойство логарифма: \(\log_a b = c\) эквивалентно \(a^c = b\). В данном случае:

\[ (3x - 11)(x - 27) = 5^3 \cdot 8 \]

Раскроем скобки:

\[ 3x^2 - 81x + 297 - 11x + 297 = 5^3 \cdot 8 \]

Сгруппируем подобные члены:

\[ 3x^2 - 92x + 594 = 1000 \]

Переносим все в одну сторону уравнения:

\[ 3x^2 - 92x + 594 - 1000 = 0 \]

\[ 3x^2 - 92x - 406 = 0 \]

Теперь мы получили квадратное уравнение. Можем воспользоваться формулой для решения квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В данном случае, у нас есть \(a = 3\), \(b = -92\), и \(c = -406\). Подставим эти значения в формулу:

\[ x = \frac{92 \pm \sqrt{(-92)^2 - 4(3)(-406)}}{2 \times 3} \]

\[ x = \frac{92 \pm \sqrt{8464 + 4872}}{6} \]

\[ x = \frac{92 \pm \sqrt{13336}}{6} \]

\[ x = \frac{92 \pm 116}{6} \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(x\):

\[ x_1 = \frac{92 + 116}{6} = \frac{208}{6} = 34.67 \]

\[ x_2 = \frac{92 - 116}{6} = \frac{-24}{6} = -4 \]

Однако, мы должны проверить, соответствуют ли оба корня исходному уравнению, так как при логарифмировании могут возникнуть ограничения. Проверим корень \(x_1 = 34.67\):

\[ \log_5(3(34.67) - 11) + \log_5(34.67 - 27) = 3 + \log_5 8 \]

\[ \log_5(104.01 - 11) + \log_5(7.67) = 3 + \log_5 8 \]

\[ \log_5(93.01) + \log_5(7.67) = 3 + \log_5 8 \]

\[ \log_5(93.01 \cdot 7.67) = 3 + \log_5 8 \]

\[ \log_5(713.3967) \neq 3 + \log_5 8 \]

Поэтому корень \(x_1 = 34.67\) не является решением исходного уравнения.

Теперь проверим корень \(x_2 = -4\):

\[ \log_5(3(-4) - 11) + \log_5((-4) - 27) = 3 + \log_5 8 \]

\[ \log_5(-12 - 11) + \log_5(-31) = 3 + \log_5 8 \]

Логарифм от отрицательного числа не определен, поэтому корень \(x_2 = -4\) также не является решением исходного уравнения.

Таким образом, уравнение \(\log_5(3x - 11) + \log_5(x - 27) = 3 + \log_5 8\) не имеет действительных корней.