Question

2 sin (п/2-x)*cos(п/2+x)= корень 3 cos x

Answer 1

Левая часть через формулы привидения преобразуется в:
-2sinx*cosx = корень из 3 cosx
-2sinx*cosx - корень из 3 cosx = 0
- cosx * (2sinx + корень из 3) = 0
Каждый множитель по отдельности приравняем к 0. Получим два уравнения
1) cosx = 0
x = П/2 + Пk, k - целое число
2) 2sinx + корень из 3 = 0
2sinx = - корень из 3
sinx = - (корень из 3)/2
х = - П/3 + 2Пk    и    x = - 2П/3 + 2Пk, k - целое число

Answer 2

Для начала решим данное уравнение шаг за шагом.

2sin(π/2 - x) * cos(π/2 + x) = √3cos(x)

Перепишем каждый из тригонометрических терминов с использованием формулы двойного угла и формулы суммы синусов:

2[ sin(π/2)cosx - cos(π/2)sinx ] * [ cos(π/2)cosx - sin(π/2)sinx ] = √3cos(x)

2[ 1*cosx - 0*sinx ] * [ 0*cosx - 1*sinx ] = √3cos(x)

2cosx * (-sinx) = √3cos(x)

Учитывая, что (-sinx) можно записать как -sinx, упростим выражение:

-2sinxcosx = √3cos(x)

Перепишем уравнение с той же функцией тригонометрии, но с использованием формулы двойного угла sin2x = 2sinxcosx:

-2sinxcosx = √3cos(x) -2sin2x = √3cos(x)

Воспользуемся теперь соотношением tanx = sinx/cosx:

-2sin2x = √3cos(x) -2(sinxcosx/cosx) = √3cos(x) -2tanx = √3cos(x)

Выразим cos(x) из последнего уравнения:

cos(x) = -2tanx/√3

Воспользуемся тождеством sin^2x + cos^2x = 1, чтобы выразить sin(x):

sin^2x = 1 - cos^2x sin^2x = 1 - (-2tanx/√3)^2 sin^2x = 1 - (4tan^2x/3) sin^2x = 1 - 4tan^2x/3 3sin^2x = 3 - 4tan^2x 3(1 - cos^2x) = 3 - 4tan^2x 3 - 3cos^2x = 3 - 4tan^2x -3cos^2x = -4tan^2x cos^2x = 4/3tan^2x 1 - sin^2x = 4/3tan^2x

Перепишем последнее уравнение в виде:

tan^2x + 3sin^2x = 3/4

Теперь решим это уравнение. Для этого воспользуемся соотношениями tan^2x = sin^2x / cos^2x и sin^2x + cos^2x = 1:

(sin^2x / cos^2x) + 3sin^2x = 3/4 (sin^2x + 3cos^2x) / cos^2x = 3/4 1/cos^2x = 3/4 4 = 3cos^2x cos^2x = 4/3 cosx = ±√(4/3) cosx = ±2/√3

Итак, мы получили два возможных значения для cosx: ±2/√3.

Чтобы найти sinx, воспользуемся соотношением sin^2x + cos^2x = 1:

sin^2x + (2/√3)^2 = 1 sin^2x + 4/3 = 1 sin^2x = 1 - 4/3 sin^2x = 3/3 - 4/3 sin^2x = (3 - 4)/3 sin^2x = -1/3

Так как синус не может быть отрицательным, получаем, что sin^2x = -1/3 не имеет решений.

Таким образом, уравнение не имеет решений.